Frage von xoni22, 20

Mathe Normalform der Parabel, kann das wer?

Hallo, war leider krankheitsbedingt länger nicht in der Schule, nun wird mir sowas hier vor die Nase gesetzt, kann das wer? Ich bin da leider total planlos 😐

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 17

Hallo,

bei diesen Aufgaben geht es darum, die Funktionsgleichung für eine Parabel zweiten Grades zu bestimmen. Eine solche Parabel hat die allgemeine Gleichung f(x)=ax²+bx+c. Das bedeutet, daß irgendeiner Zahl, die für x eingesetzt wird, eine andere Zahl zugeordnet wird, nämlich der Funktionswert, der sich ergibt, wenn man eine Zahl für x einsetzt und die Gleichung berechnet. Dann gibt es die sogenannten Parameter a, b und c, die auch für bestimmte Zahlen stehen. Dabei bestimmt das a die Form der Parabel - ob sie nach oben (a>0) oder nach unten (a<0) geöffnet ist; ob sie weit ist - das ist bei Werten für a zwischen -1 und 1 der Fall - oder ob sie ziemlich schmal ist - wenn a >1; je größer a ist (oder im negativen Bereich je kleiner), desto schmaler wird die Parabel. Die Zahl, die an der Stelle von c steht, zeigt an, wo der Funktionsgraph die y-Achse durchschneidet. Schließlich ist b daran schuld, wenn der Scheitelpunkt der Funktion nicht genau auf der y-Achse liegt, sondern irgendwo links oder rechts davon. Den x-Wert des Scheitelpunktes kannst Du leicht bestimmen, indem Du das Vorzeichen von b umkehrst (wenn b z.B gleich 2 ist, machst Du daraus eine -2, is b=3, schreibst Du -3) - und das so veränderte b durch den doppelten Wert von a teilst, also -b/(2a) rechnest. Den y-Wert des Scheitelpunktes kannst Du dann auch über eine Formel bestimmen - einfacher aber ist es, den Wert, den man für x gefunden hat, einfach in die Funktionsgleichung einzusetzen - dann brauchst Du Dir nämich nur -b/(2a) zu merken und nicht die längere Formel für den y-Wert. Die Funktionsgleichung hast Du in der Regel ja im Heft oder auf dem Arbeitsblatt oder im Buch stehen.

Hier aber mußt Du Dir die Funktionsgleichung zusammenbasteln. Das mußt Du mit Hilfe der Angaben tun, die gegeben sind.

Bei der ersten Aufgabe ist z.B. schon mal b gegeben (b=2). Das ist praktisch, weil Du das direkt einsetzen kannst:

f(x)=ax²+2x+c. Jetzt mußt Du nur noch wissen, was für a und was für c eingesetzt werden muß. Dafür hast Du die beiden Punkte Q (-2|-2) und
R (-3|1). Ein bißchen schade, daß Du keinen Punkt gegeben hast, dessen x-Komponente 0 ist, dann entspräche die y-Komponente nämlich dem c. Aber auch in der Mathematik gilt: Das Leben ist kein Wunschkonzert.

Also mußt Du nun zwei Gleichungen aufstellen, um a und c zu berechnen.

Bei dem Punkt Q sind sowohl der x-Wert als auch der y-Wert gleich -2.

Das bedeutet, wenn Du -2 in die Funktionsgleichung für x einsetzt, erhältst Du als Ergebnis ebenfalls eine -2.

Mit Punkt R verhält es sich ähnlich: Setzt Du für x eine -3 in die Funktionsgleichung ein, muß 1 herauskommen.

So schreiben wir die beiden Gleichungen auf:

-2=a*(-2)²+2*(-2)+c (wir wußten ja bereits, daß b gleich 2 ist), also:

-2=4a-4+c oder, wenn wir die Summanden ein wenig hin und herschieben:

4a+c=2 (Ich habe einfach die -4 auf die andere Seite gebracht, wo sie zu +4 wird und in Verbindung mit der -2 zu 2, denn 4-2=2.

Eigentlich müßte die Gleichung jetzt 2=4a+c lauten; aber ich habe das Ganze einfach umgedreht (wenn Du das mit der kompletten Gleichung machst, geht das).

Die andere Gleichung - also wenn Du für x eine -3 einsetzt, lautet dann:

1=a*(-3)²+2*(-3)+c, was zu 1=9a-6+c führt, oder zusammengefaßt und sortiert:

9a+c=7.

Nun hast Du ein Gleichungssystem:

4a+c=2 und
9a+c=7

Wenn Du nun die obere Gleichung von der unteren abziehst (kannst Du auch andersherum machen, aber dann steht vor dem Ausdruck mit a ein Minuszeichen), dann verschwindet das c und es bleibt eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten übrig, nämlich dem a:

Du rechnest: (9a-4a)+(c-c)=(7-2), wobei die Klammern hier eigentlich überflüssig sind, sie dienen nur zur besseren Übersichtlichkeit, und bekommst 5a=5 heraus.

Demnach muß a gleich 1 sein.

Wenn Du nun für a diese 1 z.B. in die erste Gleichung einsetzt, steht da:

4*1+c=2, also 4+c=2 oder c=-2

Fertig ist die Funktionsgleichung. Mit a=1, b=2 und c=-2 lautet sie:

f(x)=x²+2x-2

Nun kannst Du zur Probe für x die -2 einsetzen:

(-2)²+2*(-2)-2=4-4-2=-2, was bedeutet, daß Punkt Q (-2|-2) tatsächlich auf dem Funktionsgraphen liegt.

Um sicher zu gehen, setzt Du auch noch die -3 von Punkt R ein:

(-3)²+2*(-3)-2=9-6-2=1

Auch Punkt R (-3|1) liegt also auf dem Graphen unserer Funktion, wobei unsere Lösung für a, b und c korrekt ist.

Aufgabe b ist entsprechend zu lösen.

Fortsetzung im Kommentar...

Kommentar von Willy1729 ,

Bei Aufgabe c hast Du einen Scheitelpunkt angegeben. Da Parabeln immer achsensymmetrisch sind, kannst Du aus dem Scheitelpunkt und dem gegebenen Punkt einen dritten Punkt bestimmen, dessen y-Wert dem y-Wert von P entspricht, nämlich 33/8 und dessen dazugehöriger x-Wert genauso weit vom x-Wert des Scheitelpunktes (2) entfernt ist (nur in die andere Richtung der x-Achse, wie der x-Wert von Punkt P (-1/2).

Von -1/2 bis 2 sind es + 2,5 Einheiten. Wenn Du zu der 2 also 2,5 Einheiten addierst, kommst Du auf den x-Wert des dritten Punktes: 4,5 oder 9/2.

Somit hast Du die drei Punkte P (-1/2|33/8), SP (2|1) und Q (9/2|33/8).

Nun kannst Du entweder mit Hilfe dieser drei Punkte ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen erstellen, um a, b und c zu berechnen oder Du kannst Dir die Tatsache zu Nutze machen, daß die Ableitung einer Funktion am Scheitelpunkt gleich Null ist, um f'(x) zu bilden: 2ax+b und f'(2)=0 zu setzen, also 4a+b=0, bzw. b=-4a. So könntest Du in einer anderen Gleichung b schon einmal durch -4a ersetzen und hättest schon mal eine Unbekannte weg.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von xoni22 ,

Wow, das ist sehr ausführlich, vielen vielen Dank für die Mühe, habe es mir genau durchgelesen und versuche mal das beste draus zu machen, 1000 dank :)

Kommentar von Willy1729 ,

Gern geschehen. Alles Gute.

Willy

Antwort
von Ekilemx, 20

Ich weiß zwar so ungefähr wie das geht aber weiß nicht wie ich es erklären kann Google mal du findest bestimmt ein paar Sachen dazu

Antwort
von Blvck, 15

Du musst die Werte einsetzen und dann nach einer der Variablen auflösen.

Die Normalform lautet f(x)=ax^2+bx+c

Bei A) ist b schon, angegeben, das heißt, du hast nur noch 2 Unbekannte in der Gleichung. Jetzt musst du die beiden angegeben Punkte Q und R einsetzen. Du erhältst:

für Q:

a * (-2)^2+2*(-2)+c = -2

-> a * 4 -4+c = -2

für R: a*(-3)^2+2*(-3)+c = 1

-> 9a - 6+c = 1

Jetzt löst man die erste Gleichung nach c (oder die 2.; oder nach c, das ist egal) auf:

4a-4+c = -2 |+4

4a+c=2 | -4a

c = 2-4a

Das musst du dann an Stelle von c in eine der Gleichungen einsetzen:

9a-6+2-4a = 1

zusammengefasst: 5a-4 = 1 | +4

5a = 5 | :5

a = 1

Diesen Wert setzt du jetzt wieder in die Gleichung ein: 

4*1-4+c = -2

4 und -4 sind 0, deswegen steht dann dann nur noch

c = -2, und damit hast du die Gleichung:

f(x) = x^2+2x-2

(die 1 vor dem x^2 schreibt man nicht extra dazu)

Kommentar von xoni22 ,

Danke das hilft mir sehr 😊

Kommentar von Blvck ,

gern geschehen (:

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