Frage von middleearthbae, 21

Mathe: Monotonieverhalten einer Funktion auf einem Intervall?

Wie bestimmt man das Monotonieverhalten einer Funktion auf einem bestimmten Intervall?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Polynomo, 11

Hallo middleearthbae,

monoton heißt ja eigentlich eintönig, also auch langweilig, und das entspricht ja nicht immer dem, was wir wollen.

Bei Funktionen ist das etwas anderes, da wäre uns schön langweilig gerade recht, weil das auch wenig Schwierigkeiten bedeutet und in der Folge auch leichter berechenbar.

Was ist nun damit in der Mathematik gemeint:

Ein Intervall gibt immer einen Anfang und ein Ende vor, also zwei Zahlen auf der x-Achse begrenzen dieses Intervall.

Die Funktion beschreibt nun einen Vorgang in diesem Intervall, der sich durch Zahlen ausdrücken läßt, diese Zahlen sind dann die Funktionswerte und werden auf der y-Achse abgelesen.

Am monotonsten wäre es, wenn sich diese y-Werte überhaupt nicht ändern würden, von Anfang bis zum Schluss also konstant, ohne Auf und Ab.

Mathematik sagt : Steigung m bzw. Ableitung f´ = 0 .

Ein wenig anspruchsvoller wäre schon ein dauerhaftes ( stetiges ) Auf oder ein stetiges Ab.

Mathematik sagt: Steigung m bzw. Ableitung f´> 0  oder f´< 0 .

Komplizierter wird es bei einem Wechsel von Auf und Ab, also einem Wechsel von  m > 0 zu m < 0 oder umgekehrt.

Mathematik sagt : f´ wechselt von  f´> 0 zu f´ < 0  genau in einem Punkt, wo  f´= 0 .

Anhand der Funktionsgleichung berechnest Du also die y-Werte zu Beginn und zu Ende des Intervalls, dann kannst Du schon mal das generelle Verhalten sehen, also geht es insgesamt aufwärts oder abwärts.

Wenn Du diese Erkenntnis noch durch Bestimmen der Steigung belegen kannst, dann um so besser, also auch die Werte der ersten Ableifung betrachten.

Gibt es aber bei der 1. Ableitung Nullstellen,. d.h. Stellen im Intervall mit Steigung m = 0, dann geht es nicht ganz monoton zu .

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

Es kommt ein bisschen auf die Funktion an. Bei Polynomen weißt du zum Beispiel, dass sie stetig sind und ableitbar. Also suchst du einfach nach den Extrema im Intervall.

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