Frage von HewaR, 71

Mathe mehrdimensionale Analysis?

kann mir jemand einen kleinen ansatz geben wie ich diese Aufgabe berechnen kann, ich bin mir nicht so sicher wie ich die angehen soll ich bedanke mich schonmal für die antworten. _______________________________________________________________ Ein oben offener rechteckiger Behälter soll das Volumen V= 10000 cm^3 haben. Bestimmen Sie die mit der Lagrange-Methode die Seitenlängen x,y,zso, dass die Oberflächeund somitder Materialverbrauch für den Behälter minimal wird. Den Nachweis des Minimums müssen. Sie nicht erbringen! _______________________________________________________________

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Hallo,

die Zielfunktion ist f(x,y,z)=xy+2xz+2yz, also die Summe der fünf Wände des Behälters, wobei der Boden xy ist.

Die Nebenbedingung ist das Volumen:

xyz-10000=0

Mit Hilfe des Langrange-Multiplikators λ erstellst Du die Hilfsfunktion

φ(x,y,z,λ)=xy+2xz+2yz+λ(xyz-10000)

Diese Hilfsfunktion leitest Du partiell nach x, y, z und λ ab:

Beim partiellen Ableiten behandelst Du alle Variablen, nach denen Du nicht ableitest, einfach wie Konstanten:

Diese partiellen Ableitungen setzt Du natürlich auf Null, weil Du ja ein Extremum (hier: Minimum) suchst.

∂/∂x=y+2z+λyz=0

∂/∂y=x+2z+λxz=0

∂/∂z=2x+2y+λxy=0

∂/∂λ=xyz-10000=0

Diese vier Gleichungen löst Du jeweils nach einer Variablen auf, setzt diese in die nächste Gleichung ein und löst nach der nächsten Variablen auf, bis Du nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten hast.

Anhand der vierten Gleichung bestimmen wir z=10000/(xy) und setzen diesen Term in die erste Gleichung ein:

y+20000/(xy)+λ*10000/x=0

Diese Gleichung lösen wir nach λ auf:

λ=-xy/10000-2/y

Nun setzen wir die Ausdrücke für z und λ in die zweite Gleichung ein:

x+20000/(xy)+[x*10000/(xy)]*(-xy/10000-2/y)=0

x+20000/(xy)+(10000/y)*(-xy/10000-2/y)=0

x+20000/(xy)-x-20000/y²=0

20000/(xy)-20000/y²=0

Nun erweitern wir mit dem Hauptnenner xy²:

20000y-20000x=0

Daraus folgt: x=y

Nun geht es zuletzt an die dritte Gleichung, in der nun auch noch y durch x ersetzt wird:

4x+λx²=0

4x+x²*(-x²/10000-2/x)=0 (In der Gleichung für λ habe ich ebenfalls y durch x ausgetauscht.)

4x-x^4/10000-2x=0

x ausklammern:

x*(2-x³/10000)=0

Die Lösung x=0 ist unbrauchbar, daher muß 2-x³/10000=0 sein

x³/10000=2

x³=20000

x=³√20000=27,144 cm

y=x=27,144 cm

z=10000/x²=10000/27,144²=13,572 cm

Mit diesen Maßen wird die Oberfläche des Behälters bei einem Volumen von 10000 cm³ minimal.

Bitte beachte, daß ich auf drei Dezimalstellen gerundet habe.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von AnglerAut ,

x und y kommen in der zu minimierenden Funktion symmetrisch vor, sie sind gegeneinander austauschbar. Meiner Meinung nach müssen sie somit in einem Minimum automatisch den gleichen Wert annehmen und man hätte sich mit diesem Trick eine Menge Arbeit gespart. Täusche ich mich da ? 

Kommentar von Willy1729 ,

Erfahrungsgemäß ist das so. Hätte das Ding einen Deckel gehabt, hätte ich Dir ohne irgendwelche Rechnerei sagen können, daß x=y=z herauskommt, also ein Würfel.

So ist es ein Quader mit quadratischer Grundfläche.

Aber das zu wissen/ ahnen und es zu beweisen sind zwei Paar Schuhe. Dazu reichen meine bescheidenen Kenntnisse leider nicht.

Willy

Antwort
von AnglerAut, 53

Oberfläche des Behälters:

2*xy + 2*yz + xz  

2 Vorderwand + 2 Seitenwand + Boden

  Das ist deine zu minimierende Funktion.

Volumen: x*y*z = 10000cm³

Das ist deine Nebenbedingung.

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