Frage von LudolfsRosberg,

Mathe Matrizen invertierte

Hab gerade in einem Buch folgende Aussage gefunden: A ist die darstellende Matrix von f bezüglich einer Orthonormalbasis, dann gilt A^-1=A^T Leider war kein Beweis qngegeben, hat jmd. ne Idee?

Antwort von Sabine46,

Damit A^-1 = A^T gilt, muss A eine orthogonale Matrix sein, d.h. dass die Spalten (analog die Zeilen) von A orthonormal sind. Sind z.B. ak die Spalten von A, dann gilt ak^Taj = 0 für k ungleich j und ak^Tak = 1. Für orthogonale Matrizen gilt immer A^TA = AA^T = E (Einheitsmatrix) und deshalb ist in diesem Fall A^-1 = A^T.

Antwort von DoTheBounce,

"A ist die darstellende Matrix von f bezüglich einer Orthonormalbasis" bedeutet, dass die Spalten alle orthonormal zueinander sind. Damit folgt A * A^T = I, also ist A^T = A^-1.

A * A^T = I gilt deswegen, weil bei dieser Matrixmultiplikation ja jede Spalte mit jeder anderen multipliziert wird - das ist entweder 0 (für unterschiedliche) oder 1 (für gleiche) Spalten

Kommentar von ichantwortemal,

So hat das einen Sinn. Also ist die Voraussetzung, dass f eine Isometrie ist.

Antwort von ichantwortemal,

Für eine beliebige Abbildung f kann das doch nicht stimmen. Definiere ich eine Abbildung f durch die Matrix (1;2 # 3;4) und multipliziere sie mit der transponierten Matrix, so erhalte ich nicht die Einheitsmatrix, was ja der Fall sein müsste, wenn die tranponierte gleich der inversen Matrix ist.

Antwort von kaka321,

Hm ne leider nicht :/ Das ist aber echt komisch, kann ich mir echt nicht erklären, warum das so ist.

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