Frage von StarSlyde, 41

Mathe Ln hilfe?

Hann mir bitte jemand helfen wie man das ausrechnet? Bitte mitt Erklärung ;) ln(5x)+ln(3x)=2

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 19

Was du beherrschen musst, sind die Logarithmengesetze, die unmittelbar aus den Potenzgesetzen abgeleitet sind.
Für dein Problem ist das 1. Potenzgesetz zuständig:

a^b * a^c = a^(b+c)

Es besagt, dass du bei gleichen Basen die Exponenten addiert werden können, um die Potenzen zu multiplizieren. Als Logarithmusgesetz kommt dabei heraus:                          log a + log b = log (ab)      1. Log-Gesetz

Denn Logarithmus ist ein anderer Name für Exponent, wenn er als Ergebnis herauskommt. Der ln ist ein spezieller Logarithmus mit Basis e, aber eben ein Logarithmus, deshalb gilt          ln a + ln b  =  ln (ab)

Daher      ln(5x)+ln(3x) = ln (15x²) = 2
Auch die 2 kann als ln geschrieben werden. Sie ist nämlich die Hochzahl, die du brauchst, um e zu quadrieren.
2 = ln e²  

Daraus folgt        ln (15x²) = ln e²       | ln weglassen
                               15x² = e²           | /15
                                   x² = e²/15      | √
                                   x  = e / √15

Wenn du das für x bei deiner Aufgabe in den Taschenrechner eingibst, kommt 2 heraus.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 16

nach log-Gesetz hast du

ln(5x • 3x) = 2  ;jetzt e^ auf beiden Seiten;

5x • 3x = e²

15x² = e²

x² = e²/15  ; jetzt Wurzel ziehen

x = ± e/wurzel 15

x = ± 0,7019

Antwort
von poseidon42, 16

ln(5x)+ln(3x)-2=2  II -ln(3x)

ln(5x) = 2 - ln(3x)  II e^x

5x = e^(2 - ln(3x))  II a^(b+c) = a^c  * a^b

5x = e^2 * e^(-ln(3x))   II (a^b)^c = a^(b*c)

5x = e^2 * (e^(ln(3x))^(-1)

5x = e^2 * (3x)^(-1)   II x^(-1) = 1/x

5x = e^2 * 1/(3x)   II *3x

15x² = e^2  II *1/15

x^2 = (e^2)/15  II (...)^(1/2) = Quadratwurzel

x = e/(15^(1/2))   oder  x = - e/(15^(1/2))

Und wenn du das dann einsetzt in die Funktion für x erhälst du auch das gewünschte Ergebnis.

Antwort
von JonasV, 15

Also. Du kennst die exponentialfunktion für die gilt: exp(a+b)=exp(a)*exp(b), oder? (exp(x)=e hoch x, aber schöner zu schreiben. Du wendest die Exponentialfunktion auf beide Seiten an. Dann steht da exp(ln(5x)+ln(3x))=exp(ln(5x))*exp(ln(3x))=5x*3x=exp(2)=e^2. Also musst du nur noch auflösen: 15x^2=e^2 <=> Wurzel(15)*x=e <=> x=e/Wurzel(15).

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community