Frage von lolyolo12, 63

Mathe Kreis berechnennnnn?

Ich versteh nicht wie ich nachweisen soll das beides den gleichen Flächen Inhalt hat kann mir jemand helfen?
Danke schonmal

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 16

Hallo,

Im Inneren des großen Kreis befindet sich ein regelmäßiges Sechseck. Regelmäßige Sechsecke bestehen aus sechs gleichseitigen Dreiecken; der Radius des großen Kreises ist also 2r.

Die gelbe Fläche ist die Fläche des Sechsecks abzüglich der Fläche des kleinen Kreises.

Um die Fläche des Sechsecks zu berechnen, brauchst Du die Höhe eines der Teildreiecke. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Höhe=√[(2r)²-r²]=√(3r²)=r*√3

Die Dreiecksfläche ist also r²√3 (halbe Grundseite mal Höhe).

Fläche des Sechsecks: 6r²√3

Davon ziehst Du die Fläche des kleinen Kreises ab, um die gelbe Fläche zu ermitteln:

6r²√3-πr²=r²*(6√3-π).

Nun zur blauen Fläche:

Die Möndchen sind Teile von Kreisen, die genauso groß sind wie der kleine Kreis in der Mitte. Wären sie Halbkreise, hätten sie die Gesamtfläche von 
3πr², nämlich die Hälfte von sechs Flächen des mittleren Kreises.

Von der Fläche dieser sechs Halbkreise mußt Du die Fläche abziehen, die sich ergibt, wenn Du das Sechseck vom großen Kreis abziehst, dann bleiben nämlich nur die kleinen weißen Kappen übrig:

4πr²-6r²√3 (Gesamtfläche der weißen Kappen)

Die blaue Fläche kannst Du nun berechnen:

3πr²-(4πr²-6r²√3)=-πr²+6r²√3=r²*(6√3-π), also genau die gleiche Fläche wie die gelbe.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von lolyolo12 ,

Vielen Dank tolle Antwort
Viel erfolg weiterhin 😃

Kommentar von DietmarBakel ,

Absolut überzeugender Vortrag. Danke.

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern,

Willy

Antwort
von Ichhaltt, 31

Du weißt dich wie man die Fläche eines Kreis berechnet oder? Wenn ja verstehen gleiche die Ergebnisse 

Kommentar von lolyolo12 ,

Aber ich weiß nicht wie ich die Flächen rausfinden

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