Frage von Siebot, 190

Mathe: Komplexe Zahlen Hilfe?

Bei Aufgabe 7.99 a), muss ich es in die Form z=a+bi bringen.
Wie kann ich das schaffen, ohne die ganzen Klammern aus-zu-multiplizieren?
Hängt das mit dem Satz von Moivre zusammen?
Danke schonmal

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von poseidon42, 111

Wichtiges zu komplexen Zahlen:

Sei z = a + i*b  mit Re{z} = a   und   Im{z} = b

Dann folgt aus der Eulerschen Formel:

z = |z| *e^(i*arctan(b/a))

Dabei musst du aufpassen, in welchem Quadranten sich nun z befindet. Es gilt nämlich:   arctan(b/a) = arctan(-b/-a)    und  arctan(-b/a) = arctan(b/-a)  aus offensichtlichen Gründen. Um nun den korrekten Winkel Phi zu erhalten machst du einfach folgendes:

arctan(b/a) = Phi   (falls 0 < a )

arctan(b/a) + pi = Phi   (falls a < 0  und b > 0 )

arctan(b/a) - pi = Phi   (falls a < 0 und b < 0)

Dadurch erhälst du nämlich:

z = (a² + b²)^(1/2) *e^(i*Phi)

Und damit ist die Multiplikation von komplexen Zahlen recht simpel, sei y und w zwei komplexe Zahlen mit y = |y|*e^(i*phi)  und  w = |w| *e^(i*alpha)

--> w*y = |y|*|w|*e^(i*[phi + alpha])

Du musst also nur die Beträge miteinander multiplizieren und die Winkel addieren. Anschließend kann man eine Zahl z = |z|*e^(i*phi) zurück in die Kartesiche Form z = a + ib verwandeln mithilfe der Eulerschen Formel:

|z|*e^(i*phi) = |z|*( cos(phi) + i*sin(phi) )

Und damit vereinfacht sich das Problem der Multiplikation zu einem der Addition.

Kommentar von Siebot ,

Danke!!! Falls ich Fragen habe melde ich mich wieder.

Kommentar von poseidon42 ,

Kein Problem. Hoffe es hat geholfen ^^

Kommentar von Siebot ,

Könntest du mir bitte nochmal helfen.
Komme mit der Aufgabe überhaupt nicht klar.

Sie lautet: Gib z in der Form z=a+bi an.
-25+19i=achte Wurzel aus z

Könntest du es bitte nochmal einfacher erklären anhand dieses Bsples. Würde mich sehr freuen.
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

-25 + 19i = z^(1/8)

Der erste Schritt erscheint also offensichtlich:

-25 + 19i = z^(1/8)   II (...)^8

(-25 + 19i)^8  = z

Sei nun -25 + 19i = w  eine komplexe Zahl, wir wollen diese nun in Polarkoordinatendarstellung umwandeln mithilfe der Eulerschen Formel:

|w| = (Re{w}² + Im{z}²)^(1/2) = ((-25)² + 19²)^(1/2) = ca. 31.401

wir schreiben nun mal, damit es einfacher zu lesen ist: |w| = d

Wir wollen nun den Winkel den der Imaginäranteil und der Realteil am Einheitskreis aufspannen ausrechnen, wir setzen dazu in unsere Formel ein:

Phi = arctan(Im{w}/Re{w})

Wir sehen schon mal, dass der Realteil von w, Re{w} = -25 < 0

Das heißt wir müssen nun einen Sonderfall berücksichtigen. Der Imaginäranteil von w Im{w} = 19 > 0 , daher folgt, wie oben aufgeführt:

Phi = arctan( 19/(-25)) + pi = ca. 2.492

Damit können wir w also wie folgt umschreiben:

w = |w|*e^(i*Phi) = d*e^(i*Phi) = ca. 31,401*e^(i*2.492)

Setzen wir dies nun in unsere obige Gleichung ein erhalten wir:

z = (w)^8 = (|w|*e^(i*Phi))^8 = |w|^8 *e^(i*8*phi)

= ca. 945165062416*e^(i*19,9338)

Umgewandelt in die karthesische Darstellung ergibt dies:

z = |z|*(cos(phi) + i*sin(phi))

= 945165062416*( cos(19,9338) + i*sin(19,9338))

= ca. 4,419*10^11 + i*8,355*10^11

Bei weiteren Fragen einfach nachfragen ^^.

Kommentar von poseidon42 ,

Und ich mache es einfach nochmal kurz an einem noch einfacheren Beispiel:

Sei mal  z = (1 + i)^2

1.) Schritt:   Sei w = 1 + i

2.) Schritt:    |w| = (Re{w}² + Im{w}²)^(1/2) --> |w| = (1² + 1²)^(1/2)

= √2

3.) Ermitteln wir nun den "Winkel":

Phi = arctan( Im{w}/Re{w} )   Re{w} = 1 > 0 also kein Spezialfall
---> Phi = 45° = pi/4

4.) Polarform:

w = |w| *e^(i*phi) = √2 * e^(i*pi/4)

5.) Einsetzen in obige Gleichung liefert:

z = (w)^2 = ( √2 * e^(i*pi/4) )^2 = 2 * e^(i*pi/4)^2

= 2*e^(2*i*pi/4) = 2*e^(i*pi/2)

Also gilt:

z = 2*e^(i*pi/2)   mit |z| = 2

6.) Umwandeln in Karthesische Form:

z = |z|*(cos(phi) + i*sin(phi)) = 2*(cos(pi/2) + i*sin(pi/2)) = 2i

Also lautet das Ergebnis in der Form: z = a + i*b

--> z = 2*i

Ich hoffe es wurde nochmal etwas deutlicher. Falls du noch irgenwie Verständnisprobleme hast kannst du mich ruhig anschreiben.

Kommentar von Siebot ,

Vielen Dank für den großen Aufwand!
Bis zur Berechnung des Winkels Phi's kann ich dir folgen. Das Problem bei mir ist noch, dass zu viele Variablen eingeführt werden.
Ich kenne leider nur r=31,4 und Phi=2,492rad
Bei w, |w| steig ich aus, obwohl du geschrieben hast, dass |w|=r
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Also wenn ich das richtig verstanden habe, hast du den Weg von

z = (-25 + 19*i)^8   über den Zwischenschritt w = -25 + 19i

hin zu w = |w|*e^(i*phi)   nachvollziehen können.

Was nun folgt ist das einsetzen der Polarform von w in die Ausgangsgleichung. Das heißt du ersetzt aufgrund der Äquivalenz:

w = -25 + 19*i   durch   w = |w|*e^(i*phi)

Daraus folgt:

z = (-25 + 19*i)^8   wird zu  z = (|w|*e^(i*phi))^8

Nun schreibst du gerne anstatt den Betragsstrichen gerne r, daher sei hier einfach mal |w| = r = ca. 31,4 , damit es dir leichter fällt alles nachzuvollziehen. Wir haben also da jetzt stehen:

z = (r *e^(i*phi))^8

Unter Anwendung der Potenzgesetze können wir ja die Klammer auflösen und erhalten:

z = r^8 * [ e^(i*phi) ]^8

Erneutes Anwenden der Potenzgesetze liefert:

z = r^8  * e^(8*i*phi)

Nun dürfen wir e^(i*theta) als cos(theta) + i* sin(theta) schreiben, wobei hier theta = 8*phi    ist. Wir schreiben also um:

z = r^8 *(cos(8*phi) + i* sin(8*phi))

Und durch einsetzen der Werte für Phi und r erhalten wir dann obiges Ergebnis .

Kommentar von Siebot ,

Wow danke!!!^^
Habs jetzt verstanden. Mache noch ein paar von diesen Beispielen, dann müsste es klappen.
Bist du Professor, oder warum kannst du so gut erklären?
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Ich studiere momentan Elektrotechnik daher bin ich das Rechnen mit komplexen Zahlen schon gewöhnt und danke für das Kompliment ^^. Ich gebe dir einfach noch ein simples Beispiel:

 z = (1 + i)*(2 - i)

w = 1 + i  ----> √2 *e^(i*pi/4)    (analog zu oben)

y = 2 - i    Re{y} = 2   Im{y} = -1

Da Re{y} > 0 --> kein Sonderfall

---> y = |y| *e^(i*arctan(-1/2))

|y| = (2² + 1²)^(1/2) = √5

arctan(-1/2) = -26,57°

---> y = √5 *e^(i*(-26,57°)

Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert:

z = y * w = |y|*|w| *e^(i*((pi/4) + (-26,57°)))

= √2 *√5 *e^(i*((pi/4) + (-26,57°)))

= 10 *e^(i*(45° + (-26,57°)))

= 10 *e^(i*19,57°)

Und damit hast du nun z berechnet.

Kommentar von Siebot ,

Ich danke dir!
Den Stern bekommst du dann natürlich auch.
Sehr gut erklärt und du hast die viel Arbeit angetan.
Lg

Kommentar von Siebot ,

Sehr nett von dir.
Ich gehe momentan in eine HTL (2tes Jahr) für Mechatronik. Da haben wir ja etwas gemeinsam.
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Nur mal aus Interesse, wofür steht das HTL? Das sagt mir jetzt nämlich so nichts ? ^^

Kommentar von Siebot ,

Höhere Technische Lehranstalt.

Nun noch eine Frage.
Im der Aufgabe steht auch noch: Berechne auch alle weiteren Wurzeln von z

Nun habe ich die 7te Wurzel berechnet.
Laut Lösung soll steht z1, z2,...z8. komme aber nie auf die richtige Lösung.
Was mach ich falsch?
Lg

Kommentar von Siebot ,

Also: z=4,419*10^11+8,354i*10*11
z1=31,112*4,242i
...
z8=25-19i

Kommentar von poseidon42 ,

Also das wichtige Bei der Geschichte ist, dass folgender Umstand gilt:

e^(i*(phi + 2pi)) = e^(i*phi)

Anschaulicher vielleicht hieran:

cos(phi + 2pi) = cos(phi)

sin(phi + 2pi) = sin(phi)

Sei also mal:   z² = e^(i*pi/2)

Und wir wollen nun alle z berechnen, für die dies gilt, es folgt also:

z = (e^(i*pi/2))^(1/2) = e^(i*pi/4)

Soweit so gut, aber man überlege sich nuch auch Folgendes:


e^(ipi/2) = e^i(pi/2 + 2pi) = e^(i5pi/2)

Die Quadratwurzel daraus wiederum wäre:

( e^(i5pi/2))^(1/2) = e^(i(5pi/4))

Damit haben wir 2 unterschiedliche Lösungen für z erhalten:

z(1) = e^(ipi/4)    und   z(2) = e^(i5pi/4)

Man könnte sich jetzt natürlich auch fragen, könnte ich jetzt nicht einfach das ganze nochmal machen und eine dritte Lösung erhalten? Wenn wir dass versuchen erhalten wir folgendes:

e^(i(pi/2 + 4pi)) = e^(i9pi/2)

Für Die Quadratwurzel daraus folgt schließlich:

( e^(i9pi/2))^(1/2) = e^(i9pi/4)

Das Argument von e^(iphi), phi, ist größer als pi, wir wollen unser Argument jedoch meistens in den Grenzen -pi <= phi < pi haben, da ein Argument phi > pi durch eine Drehung in die "andere Richtung" um maximal -pi ausgedrückt werden kann.

Wir haben hier also stehen:

9pi/4 > pi  ---> subtrahiere 2pi

---> 9pi/4 - 2pi = (9pi - 8pi)/4 = pi/4

Dieses Ergebnis kennen wir aber schon !!!! Es entspricht z(1).
Wenn man dahingehend nochmal z(2) betrachtet so stellt man fest, dass 5pi/4 > pi sind. Also müsste man auch hier korrekterweise 2pi abziehen, wenn du dies tust erhälst du die Lösung: e^(-i
3pi/4), wobei dies der korrekte Ausdruck wäre für z(2).

Also nochmal etwas deutlicher:

e^(i0) = 1 = e^(i2pi)

und da 1^k = 1 = e^(i2pi)^k = e^(i2pik)

Verändert sich das Ergebnis nicht durch die Multiplikation mit 1 !!
Wir dürfen also schreiben:

( e^(i
phi))^(1/2) = ( e(ik2pi) * e^(iphi))^(1/2)

Zusammengefasst ergibt dies:

( e^( i
[ 2pik + phi ]/2 )) = e^(i [ pik + phi/2] )

Dabei muss gelten:

-pi < pi
k + phi/2 < pi

Dabei ist k Element der ganzen Zahlen Z = {1, -1, 0, -2 , 2, ...}.

Du würdest also einsetzen: k = 0 ,  k = 1 und k = -1 usw.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt übrigens, dass eine Gleichung der Gestalt:

z^k = a   für   a ungleich 0   k "unterschiedliche" Lösung hat, und zwar immer !!!









Kommentar von poseidon42 ,

Also nochmal etwas simpler dargestellt:

Du hast eine Gleichung der Gestalt:

z^k - a = 0   II +a

z^k = a  II (...)^(1/k)

z = a^(1/k)      wobei  k € Z = { -1, 1, 0, -2, 2, ... }

Dann gibt es für diese Gleichung stets |k| - Lösungen.

Dies ist der Tatsache verschuldet, dass die Multiplikation mit 1 nicht das Ergebnis verändert, da die Wurzel aus 1 stets 1 ist. Wir dürfen also schreiben:

z = ( 1* a)^(1/k)

Nun lässt sich 1 in Polarkoordinaten ausdrücken, wir erinnern uns nämlich das gilt:

cos(0 + 2pi*h) + i*sin(0 + 2pi*h) = 1   für  alle h € Z

Wir können äquivalent auch schreiben:

1 = e^( i*h*2pi)   mit h € Z

Damit folgt durch einsetzen in unsere Gleichung:

z = ( 1* a)^(1/k) II 1 = e^( i*h*2pi)

z = (e^( i*h*2pi) * a)^(1/k)

Wenn gilt:  a = |a| *e^(i*phi) , dann folgt durch einsetzen in die Gleichung:

z = (e^( i*h*2pi) * a)^(1/k)  II  a = |a| *e^(i*phi)

z = (e^( i*h*2pi) *|a| *e^(i*phi))^(1/k)

Wenn man nun die gängigen Rechenregeln anwendet und die Klammer auflöst folgt:

z = |a|^(1/k) * e^(i*[ (h*2pi + phi)/k ])

Man setzt sich aufgrund eindeutiger Ergebnisse folgende Begrenzung für das Winkelargument:

-pi <= arg (Winkel) < pi

Dadurch folgt durch einsetzen also:

-pi <= (h*2pi + phi)/k  < pi  

Durch sukzessives Einsetzen von h = 0, h = 1 , h = -1, ... usw. erhalten wir schließlich alle möglichen "eindeutigen" Lösungen.

Kommentar von Siebot ,

Danke,
Moment. Was heißt jetzt die Frage: Berechne auch alle weiteren Wurzeln von z?
Bedeutet es -25+19i=siebte Wurzel aus z?
Usw.?
Die Erklärung war jetzt ein bisschen zu hoch für mich. Bin ja auch erst 16 ;)
Lg

Kommentar von Siebot ,

Danke!
Ich werde es morgen ausprobieren. Vielen Dank für deine großzügige Hilfe.

Und das ist die einfachste Methode um diese Rechnungen zu lösen?
Kommt mir nur komisch vor, da wir erste Addieren, Multiplizieren, Subtrahieren und Dividieren und Umwandlung zwischen Polar, Geometrisch,... gelernt haben, und jetzt auf einmal gibt der Lehrer schon so etwas auf, obwohl wir erst die oben genannten Rechnungen durchgeführt haben.
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Man kann das ganze als Drehung am Einheitskreis noch verdeutlichen etc. . Mir persönlich ist aber ehrlich gesagt momentan keine einfachere Erklärung bzw. Rechenweise in den Sinn gekommen, die man jetzt so schriftlich übermitteln kann ^^ . Wenn du noch Fragen hast kannst mich gerne anschreiben. Viel Erfolg dann noch morgen, falls ihr noch eine andere Erklärung/Rechenweise präsentiert bekommt könntest du sie mir dann schreiben? Ich würde nur zu gern erfahren wie man das alternativ lösen könnte. Na dann schönen Abend noch.

Kommentar von Siebot ,

Werde ich bestimmt machen. Hoffe unser Doktor in Mathe hat da eine einfache Lösung. Aber morgen lern ich mal diese Art!
Dir auch noch eine schönen Abend.
Lg

Kommentar von Siebot ,

Hallo, ich muss leider noch mal nachhaken.
Und zwar weiß ich gar nicht wo ich weiter anfangen soll.
Hab jetzt auf meinen Zettel stehen:

Schritt 1: w = -25 + 19i

Schritt 2: |w| = (Re{w}^2+Im{w}^2)^0,5
|w| = 31.4

Schritt 3: Phi = arctan (Im{w} / Re{w})
Phi = 2,492rad

Schritt 4: w = |w|*e^i*Phi=31.4*e^i*2,492rad

Schritt 5: z = (w)^8 = (|w|*e^i*Phi)^8=
= |w|^8*e^i*19,93

Schritt 6: z = |z| *cos(19,93)+i*sin(19,93)
z=4,42*10^11 + i*8,355*10^11

Soweit bin ich jetzt und soweit kann ich es beherrschen.
Lg

Kommentar von Siebot ,

Hab bei Schritt 6 noch eine Klammer vergessen!

Kommentar von poseidon42 ,

Du hast auch bei der Ermittlung des Winkelarguments noch etwas vergessen:

Re{w} = -25    und    Im{w} = 19

----> Sonderfall beachten, da R{w} = -25 < 0  mit   Im{w} > 0

----> Phi = arctan( Im{w}/Re{w} ) + pi

Eingesetzt folgt schließlich für Phi:

Phi = arctan( 19/(-25)) + pi = 2,492 rad

[ Du hast das " +pi " einfach nur vergessen ]

Und ansonsten ist alles korrekt berrechnet worden. Somit solltest du eigentlich die Multiplikation von komplexen Zahlen beherrschen, wenn du alle diese Schritte drauf hast. Generell benutzt man die Polarkoordinatendarstellung für die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen, während sich die kartesische Darstellung für die Addition und Subtraktion eignet.

Kommentar von poseidon42 ,

Um vielleicht eine Art Lösungsweg mal darzustellen, hier mal ein Entscheidungsbaum:

Mult./Div.                                                     Add./Subtr.

1.) Wandle in Polarform um             1.) Wandle in kartesische Form

                             2.) Führe Rechnung durch      

                   3.) Ergebnis in gewünschte Form umwandeln     

Wie man schnell sieht geht es meist bei der Lösung einer solchen Aufgabe stets zu erkennen in welche Form man am geeignetsten umwandelt um die Rechnung zu vereinfachen. Einen Sonderfall stellt höchstens noch das Wurzelziehen von komplexen Zahlen dar, da hier noch mehrere unterschiedliche Lösungen existieren können.

k -te Wurzel

1.) In Polarform umwandeln

2.) Multiplikation mit 1 = e^(h*2pi)     h € Z = { 1, -1, 0 , ... }

3.) Einsetzen von Werten für h, h = 0 , h = 1, h = -1, ...

    Beachte dabei stets das gelten muss:

     -pi <=  (h*2pi + phi)/k  < pi

---> Daraus folgen dann die Lösungen der Gestalt:

z = |a|^(1/k) *e^(i*[h*2pi + phi]/k )

mit z als Lösung zu z^k = a .

4.) Gegebenenfalls die erhaltenen Lösungen in die gewünschte   Darstellungsform umwandeln

Kommentar von Siebot ,

Danke für die Erklärung.
Eine große Bitte noch an dich.

Könntest du das anhand des Beispiels: z=(1+i)^5 erklären?
Wäre sehr nett von dir.

Vielleicht würde es mir dann klarer erscheinen.

Leider bin ich ein eher praktischer Typ und nicht so ein Theoretiker (wobei natürlich beides sehr wichtig ist.)

Lg und danke schonmal und danke für die ganze Hilfe bis jetzt.

Kommentar von poseidon42 ,

Kein Problem, ich würde sagen ich bin eher so ein Mittelding aus beidem, aber ich hoffe mal meine Erklärungen sind gut verständlich? Ansonsten hier anhand deines Beispiels:

Also sei nun   z = (1+i)^5

und w = 1 + i

Wir wandeln nun zunächst w in die Polarkoordinatendarstellung um:

|w| = ( 1² + 1²)^(1/2) = 2^(1/2)

Weil es so lästig ist jedes mal 2^(1/2) zu schreiben, verwende ich an der Stelle im weiteren Verlauf r = |w| = 2^(1/2) .

Nun gilt es das Winkelargument zu ermitteln:

Re{w}= 1  >  0     ----> kein Sonderfall

----> Phi = arctan( Im{w}/Re{w} ) = arctan( 1/1) = 45° = pi/4

Wir können also w schreiben als:

w = r* e^(i*pi/4)

Nun setzen wir dies in unsere Ausgangsgleichung ein und wir erhalten:

z = ( 1 + i)^5 = ( w )^5 = ( r* e^(i*pi/4))^5

Und durch anwenden der Potenzgesetze erhalten wir nun:

z = r^5 * e^(i*5pi/4)

Damit hätten wir nun also z in Polardarstellung berechnet. Wollen wir z jedoch in kartesischen Koordinaten angeben, so geschieht dies über die eulersche Formel:  e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)

Einsetzen in unsere Gleichung liefert damit:

z = r^5 * e^(i*5pi/4) = r^5 *( cos(5pi/4) + i*sin(5pi/4) )

= r^5 *( -1 - i)/(2)^(1/2)      da 2^(1/2) = r folgt damit durch einsetzen:

= - (r^5)*(1 + i)/r = -(r^4)*(1 + i)

und r^4 = (2^(1/2))^4 = 2^2 = 4

Und damit folgt also durch erneutes Einsetzen:

= -4*(1 + i) = -4 - 4i

Also z = -4 - 4i

Falls du deine Rechnungen überprüfen willst, dann empfehle ich mal deine Gleichung in Wolfram Alpha einzutippen, der spuckt dir dann sofort die Lösung aus, ist immer eine gute Hilfe, wenn man überprüfen will, ob man richtig gerechnet hat:

https://www.wolframalpha.com      (Allgemeine Seite)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2Bi%29^5

(Link zur Lösung deines Beispiels)

Wenn du noch mehr Fragen haben solltest bin ich gerne behilflich.

Kommentar von Siebot ,

Ok, vielen Dank.
Aber die Aufgabe: Berechne auch alle weiteren Wurzeln von z. , hast du jetzt nicht mit der Aufgabe (z=(1+i)^5) gemacht oder?

Das Berechnen des z kann ich jetzt.
Aber z1, z2, ... bin ich noch nicht in der Lage.
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Ich kann dir gerne noch ein paar Beispiele vorrechnen, werde dazu aber erst heute Abend Zeit dafür haben. Also entschuldige wenn ich erst etwas später antworten werde.

Kommentar von Siebot ,

Ok, machen wir das so.
Vielen Dank!

Ich gebe dir einfach nochmal die Aufgabe.

Gib z in der Form von z=a+bi an. Berechne alle weiteren Wurzeln von z.

-25+19i=8chte Wurzel aus z

Lösungen:

z=4,419*10^11+8,354i*10^11
z1=31,112+4,242i
z2=19+25i
z3=-4,242+31,112i
z4=-25+19i
z5=-31,112-4,242i
z6=-19-25i
z7=4,242-31,112
z8=25-19i

Wie du schon weißt, verstehe ich nur den Lösungsweg zu: z=4,419*10^11+8,354i*10^11

Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Nun hier also die versprochene Lösung zu der Aufgabe:

(-25 + 19i)^(1/8) = z 

Zunächst wandeln wir w = -25 + 19i    in Polardarstellung um, wir erhalten wir zuvor schon gezeigt:

w = 31.4*e^i*2,492rad   (Hier nur gerundete Werte verwendet)

Durch die Multiplikation von 1 verändert sich ja das Ergebnis an sich ja nicht, daher schreiben wir nun:

z = 1*z = 1*(31.4*e^i*2,492rad)^(1/8)

Ziehen wir die 1 unter die Wurzel erhalten wir offensichtlich:

z = (1*31.4*e^i*2,492rad)^(1/8)

Nun lässt sich die 8. Wurzel aus 31,4 nun schnell berechnen, wir erhalten:

31,4^(1/8) = ca. 1,539

Damit es im Folgenden einfacher zu lesen ist, schreiben wir:

1,539 = r 

Daraus folgt durch einsetzen:

z = (1*31.4*e^i*2,492rad)^(1/8) = r*(1*e^i*2,492rad)^(1/8)


Nun kennen wir einen zu 1 äquivalenten Ausdruck, dieser lautet in Polardarstellung nämlich:

1 = e^(i*k*2pi)     mit  k = {1, -1, 0, -2, ... }

Beispielsweise:

k = 0 ---> e^(i*0) = 1 

k = 1 ---> e^(i*2pi) = 1

k = -1 ---> e^(i*(-2pi)) = 1

Dies liegt in der Eulerschen Formel begründet:

e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)

Wir erinnern uns: cos(0) + i*sin(0) = 1 

Und es gilt:   cos(phi + 2pi) + i*sin(phi + 2pi) = cos(phi) + i*sin(phi)

Das bedeutet ein beliebig oftes dazuaddieren von 2pi und subtrahieren von 2pi verändert das Ergebnis nicht. In unsrem Falle mit cos(0) + i*sin(0) = 1  folgt daraus obige Behauptung mit:

1 = e^(i*k*2pi)


Setzen wir dies nun in unsere Formel ein, so erhalten wir:

z = r*(1*e^i*2,492rad)^(1/8)   II  1 = e^(i*k*2pi)

z = r*(e^(i*k*2pi) *e^i*2,492rad)^(1/8)

Anwenden der Potenzgesetze liefert schließlich:


z = r*(e^(i*[ k*2pi + 2,492rad])^(1/8)

Auflösen der Klammer führt schließlich zu:

z =  r*e^(i*[ k*2pi + 2,492rad]/8)

Das Winkelargument lautet also:

Phi = [ k*2pi + 2,492rad]/8 = k*pi/4 + 0,3115 rad 

Für eine eindeutige Lösung muss gelten:

-pi <= phi < pi 

Damit folgt also durch einsetzen der entsprechenden Werte für k:

k = 0  ----> Phi(0) = 0,3115rad

k = 1 -----> Phi(1) = 1.01rad

k = -1 ----> Phi(-1) = -0.47rad

k = 2 -----> Phi(2) = 1.88rad

k = -2 -----> Phi(-2) = -1.26rad

k = 3  ------> Phi(3) = 2.67rad

k = -3  -------> Phi(-3) = -2.04rad

k = 4 -------> Phi(4) = 3.45rad > pi  ----> keine eindeutige Lsg. !!!

k = -4 ----->  Phi(-4) = -2.83rad  

k = 5   ------> siehe k = 4 

k = -5  -------> Phi(-5) = -3.62rad  < -pi  ------> keine eindeutige Lsg!!

k = 6 --------> siehe k = 5

k = -6 -------> siehe k = -5 

usw. ... 

Das heißt es gibt insgesamt 8 Lösungen für:

k = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, -4}

Wenn wir nun die jeweiligen Winkelargumente einsetzen erhalten wir für die 8 Lösungen in Polardarstellung:

z(0) = r*e^(i*0.3115rad)

z(1) = r*e^(i*1.01rad)

z(-1) = r*e^(i*(-0.47)rad)

z(2) = r*e^(i*1.88rad)

z(-2) = r*e^(i*(-1.26)rad)

z(3) = r*e^(i*2.67rad)

z(-3) = r*e^(i*(-2.04)rad)

z(-4) = r*e^(i*(-2.83)rad)

Umgewandelt in Karthesische Koordinaten folgt schließlich:

z(0) = 1.465 + 0.472i

z(1) = 0.819 + 1.303i

z(-1) = 1.372 - 0.697i

z(2) = -0.468 + 1.466i

z(-2) = 0.471 - 1.465i

z(3) = -1.371 + 0.699i

z(-3) = -0.696 - 1.373i

z(-4) = -1.465 - 0.472

Alle Angaben waren gerundet, daher können sich Rundungsfehler eingeschlichen haben was dazu führen kann, dass eine inverse Rechnung nicht zu exakt genauen Ergebnissen führen würde. Aber ich hoffe das Beispiel ist verständlich vorgerechnet. Ansonsten wie immer, bei Fragen, einfach fragen ^^ .

Kommentar von Siebot ,

DANKE!

Hab mir es nur kurz durchgelesen und mir ist aufgefallen, dass gleich in der ersten Zeile steht ^1/8, die Aufgabe lautet ^8.
Bin ich da falsch, oder...
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Ah da hab ich mich jetzt aber heftig verlesen XD. Sry , die Aufgabe lautet:

 -25 + 19i = z^(1/8)

Die meintest du eigentlich oder? 

Kommentar von Siebot ,

Genau: also (-25+19i)^8=z

Wow, wirklich beeindruckend wie du das beherrschst.
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Also wenn die Aufgabe nun lautet:

-25 + 19i = z^(1/8)  II (...)^8

(-25 + 19i)^8 = z 

Diese Gleichung haben wir ja schon mal gelöst. Wir wissen aufgrund der Darstellung in Polarform, dass gelten muss:

|z| = |(-25 + 19i)^8| = |-25 + 19i|^8

Damit sind auf jeden Fall einige Lösungen die du da angegeben hast recht suspekt, Beispiel:

z1=31,112+4,242i

z2=19+25i

|z1|= 31.4

|z2| = 31.4

Jedoch gilt eindeutig:

z=4,419*10^11+8,354i*10^11

Mit  |z| >>> |z1| + |z2| 

Das heißt da kann schon irgendetwas nicht stimmen. Ich meine die Beträge der einzelnen komplexen Zahlen sollte eigentlich gleich sein. Irreführend ist wohl nur: 

z^(1/8) = ( |z|*e^(i*phi))^(1/8) = |z|^(1/8) *e^(i*Phi/8) = -25 + 19i 

Da aber alle angegeben Lösungen die Gleichung 

 |z| = 31.4 = |-25 + 19| erfüllen, können die Lösungen nicht stimmen. Da eindeutig gilt:

|z|^(1/8) ist ungleich 31.4 = | -25 + 19i|

Wie kamst du denn auf die weiteren Lösungen ?

Kommentar von Siebot ,

Ich hab da ein Lösungsheft^^.

Kommentar von poseidon42 ,

Wie ich es gerade mal kurz gezeigt habe, können das keine Lösungen für die Gleichung:    z^(1/8) = -25 + 19i    sein. Ganz leicht zu sehen an den jeweiligen Beträgen. Also entweder das Lösungsheft irrt sich, oder aber ich irre mich, wobei ich aufgrund obigen Arguments das Gegenteil behaupten würde. Würde die Gleichung z = (-25 + 19i)^(1/8)  lauten, dann wäre obige Ausführung vorhanden. Aber die Lösung zu der Aufgabe ist doch schon fragwürdig.

Ich habe soeben mit den Lösungen ein wenig herumgespielt und anscheinend sind das Lösungen zu der Gleichung: 

z^8  =  (-25 + 19i)^8

Also sozusagen die Lösungen zu der Gleichung:

z = (4,42*10^11 + i*8,355*10^1)^(1/8)

Und hier Funktioniert ja das Wurzelziehen analog zu oben:

z = (31.4^8*e^(i*19.93))^(1/8)

---> z = 31.4 *e^(i*[2pi*k + 19.93]/8)

Und dann musst du nur noch die restlichen Lösungen auf gleiche Art und Weise wie oben gezeigt berechnen.

Es sollten also die gesuchten Lösungen herauskommen. Ich würde das morgen aber nochmal nachrechnen. 

Kommentar von Siebot ,

Ich bedanke mich mal wieder.
Morgen geh ich mal in die Schule und hoffe, dass der Lehrer mal etwas erklärt und nicht nur schreit XD.
Ich sag dir dann Bescheid.  
Darf ich mich mit Elektrotechnik Fragen auch bei dir melden?
Lg und Gute Nacht

Kommentar von poseidon42 ,

Klar, solange ich die Beantworten kann XD immer gerne, add mich einfach hier in GF, dann kannst du mich gerne jeder Zeit anschreiben.

Kommentar von Siebot ,

Werd ich Morgen machen.
Sicher kannst du die beantworten.
Bin erst im 2 Jahr und hatte in der ersten kein Elektrotechnik.
Und du studiert ja und brauchst natürlich da sehr hohe Mathematik.
Lg

Kommentar von Siebot ,

So, der Lehrer hat es nicht geschafft. Er hätte nich mal ohne deinen Ansatz das z ausrechnen können. Dann hat er sich rausgeredet und dann war die Stunde vorbei.

Daher bitte ich dich, dass Bsp zu rechnen.
Natürlich kann es sein, dass die Lösungen im Heft falsch sind und ich glaube natürlich einen Elektrotechnikstudenten mehr, da du es ja immer brauchst und es bestimmt auch eine Grundvoraussetzung ist.
Lg

Kommentar von poseidon42 ,

Also ich würde es jetzt so lösen, zwar etwas umständlich aber mir fällt kein einfacherer Lösungsweg ein:

Die Aufgabe lautet:

z^(1/8) = -25 + 19i 

Nun formen wir erstmal wie gewohnt um:

z = (-25 + 19i )^8

Wir erhalten wie zuvor nun schon gezeigt:

z = 31.4^8*e^(i*19.93)

So gut soweit. Wir suchen jetzt nach komplexen Zahlen w, für die gilt:

w^8 = 31.4^8*e^(i*19.93)

Ziehen wir hier die 8. Wurzel und führen hier unseren 1er Trick durch erhalten wir:

w(k) = 31.4 *e^(i*[2pi*k + 19.93]/8)

Rechnen wir diese nun aus erhalten wir:

w(0) = -25 + 19i

w(1) = -31.11 - 4.23i

w(-1) = -4.23 + 31.11i

w(2) = -19 - 25i

w(-2) = 19 + 25i

w(3) = 4.23 - 31.11i

w(-3) = 31.11 + 4.23i

w(4) = 25 - 19i 

w(-4) = 25 - 19i    !!!! siehe w(4)

w(5) = 31.11 + 4.23i   !!!! siehe w(-3) 

... usw. 

Damit erhalten wir 8 unterschiedliche Lösungen für k:

k = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4}

Im Endeffekt haben wir also folgendes gemacht: 

Wir haben z berechnet, durch Potenzieren:

z = (-25 + 19i)^8

Schließlich haben wir diese Darstellung in Polarkoordinaten umgewandelt:

(-25 + 19i)^8 = 31.4^8*e^(i*19.93)

Die Aufgabe war es nun noch die weiteren möglichen und unterschiedlichen Ergebnisse für: z^(1/8) = w   zu berechnen. 

Das heißt anstatt jetzt in einem stumpf die Potenzgesetze anzuwenden, haben wir die Polardarstellung übernommen und aus ihr die 8-te Wurzel gezogen. Für den Fall k = 0 bei unserem 1er-Trick erhalten wir trivialerweise unsere erste Lösung: z^(1/8) = -25 +19i

Alle weiteren Lösungen haben wir schließlich durch unseren 1er-Trick für k != 0 konstruiert ("!=" soll Ungleich heißen, aus der Programmiersprache 'C' falls du die kennst), solange wir keine unterschiedlichen mehr erhalten haben. 

Oben wurde die Rechnung nun ja nur grob skizziert, daher hier nochmal exemplarisch einen Teil der Rechnung:

w^8 = 31.4^8*e^(i*19.93)

Was wir nun als erstes tun werden ist von 19.93 so oft Vielfache von 2pi abzuziehen, bis wir in dem Bereich:

-pi <= 19.93 - 2pi*h < pi 

landen (Für eine Begründung sei hier an der Stelle noch einmal aus vorherige Ausführung die Eulersche Formel angemerkt).

Tun wir dies dann erhalten wir:

19.93 - 3*2pi = ca. 1.08

Also lässt sich die Zahl äquivalent darstellen wie folgt:

31.4^8*e^(i*19.93) = 31.4^8*e^(i*1.08)

Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in unsere Gleichung erhalten wir schließlich:

w^8 = 31.4^8*e^(i*1.08)   II (...)^(1/8)

w = 31.4 *[e^(i*1.08)]^(1/8)

Nun wenden wir unseren 1er-Trick an:

w = 31.4*[ e^(i*2pi*k) *e^(i*1.08) ]^(1/8)

w = 31.4*[ e^(i*[2pi*k + 1.08]) ]^(1/8)

Durch Anwenden der Potenzgesetze erhalten wir schließlich:

w = 31.4*e^(i*[k*pi/4 + 1.08/8])

Und nun können wir dazu übergehen Werte für k einzusetzen, wobei k Element aus Z ist, der Menge der ganzen Zahlen = { 0, 1, -1, ...}. Ich werde das hier nur für 3 Zahlen mal durchführen:

k = 0

----> w(0) = 31.4*e^(i*0.135)

k = 1

----> w(1) = 31.4*e^(i*0.92)

k = -1

----> w(-1) = 31.4*e^(i*(-0.65))

Diese gilt es nun nur noch in die karthesische Form zu bringen mithilfe der eulerschen Formel:

e^(i*Theta) = cos(Theta) + i*sin(Theta)

Daraus folgt durch einsetzen in unseren Gleichungen:

w(0) = 31.4*e^(i*0.135) = 31.4*(cos(0.135) + i*sin(0.135) )

= 31.11 + 4.23i

w(1) = 31.4*e^(i*0.92) = 31.4*(cos(0.92) + i*sin(0.92)) 

= 19 + 25i

w(-1) = 31.4*e^(i*(-0.65)) = 31.4*(cos(-0.65) + i*sin(0.65)) 

= 25 - 19i

Damit hättest du schon mal 3 der Lösungen ermittelt. Das die Werte für k sich jetzt hier unterscheiden liegt daran, dass ich das jetzt zu Fuß gerechnet habe, das andere hab ich mir von Wolfram Alpha von der Polarform in die Karthesische Form umwandeln lassen, daher war das manuelle anpassen des Winkelarguments da nicht nötig, für die Rechnung zu Fuß ist das aber wichtig !!!

Ich hoffe das ganze hat dich jetzt nicht erschlagen, wie immer , wenn du Fragen hast, kannst mich gerne Fragen. Und eigentlich sollte das doch dein Lehrer können 0.o !? Ich meine das ist eigentlich im Kern nur simples Umformen, auch wenn ich zugeben muss, dass ich die am Anfang falsch verstanden habe, war aber auch schon spät XD. 

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 117

wo ist 7.99 a ?

Kommentar von Siebot ,

Tut mir Leid!
Jetzt müsste es da sein.

Kommentar von Siebot ,

Gib z in der Form z=a+bi an.

3+2i=5te Wurzel aus z

Kommentar von Ellejolka ,
Kommentar von Siebot ,

Leider auch nicht.
Hab es jetzt in der Form von z=a+ib gebracht und ich weiß nicht weiter mit der Frage: Berechne alle weiteren Wurzeln von z.
Lg

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