Mathe: kann mir jemand Euklid's beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt einfach ä erklären?

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5 Antworten

Die Antwort von Tannibi ist so nicht richtig, obwohl der Ansatz richtig ist. Aber es ist falsch, dass das Produkt der ersten n Primzahlen + 1 wieder eine Primzahl ist. Zum Beispiel:

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 + 1 = 30031 = 59 * 509

Was man aber sagen kann ist: Das Produkt der ersten n Primzahlen + 1 ist duch keine dieser Primzahlen teilbar, denn:
Bezeichnet man die ersten n Primzahlen mit p_1, p_2, ... p_n , so  betrachtet man
N = p_1 * p_2 * ...p_n + 1
Teilt man nun N durch eine dieser Primzahlen p_k, so hat man

N / p_k = M + 1 / p_k
mit einer natürlichen Zahl M. M besteht aus allen Faktoren p_1 bis p_n außer p_k.
Folglich ist N durch keine der Primzahlen p_1 bis p_n teilbar.

Damit folgt natürlich, dass es unendlich vile Primzahlen gibt, denn wären p_1 bis p_n sämtliche Primzahlen, so folgt die Existenz mindestens einer weiteren Primzahl, nämlich die Primteiler von N.


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Kommentar von Tannibi
13.06.2016, 17:00
"Die Antwort von Tannibi ist so nicht richtig, obwohl der Ansatz richtig
ist. Aber es ist falsch, dass das Produkt der ersten n Primzahlen + 1
wieder eine Primzahl ist. "

Das haben weder ich noch Euklid behauptet, sondern,
daß das Produkt aller Primzahlen plus 1 eine Primzahl ist.
Darum ist auch nict nur der Ansatz richtig, sondern die
gesamte Beweisführung, und zwar vollständig.
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Jede Zahl ist eine Primzahl oder ein Produkt von Primzahlen (lässt sich auch beweisen, ist hier aber nicht gefragt).

Gäbe es endlich viele Primzahlen, könnte man alle miteinander multiplizieren und hätte eine Zahl, die durch alle Primzahlen teilbar ist. Addiert man 1 zu dieser Zahl, so ist diese durch keine der Primzahlen mehr teilbar. Somit müsste sie nach obiger Definition eine neue Primzahl sein, im Widerspruch zur Annahme.

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Kommentar von Rowal
13.06.2016, 20:46

Das ist doch genau derselbe Fehler, wie ihn schon Tannibi gemacht hat. Folgt man deiner Argumentation, dann gilt: 2, 3, 5 7, 11 und 13 sind die einzigen Primzahlen. Denn angenommen das stimmt nicht, dann wäre  2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 + 1  eine dieser weiteren Primzahlen. Das ist aber falsch, wie man mit Papier und Bleistift nachrechnen kann. Somit ist die Annahme falsch und es folgt die Behauptung.

Das erinnert mich an den Beweis der Physiker, dass alle ungeraden Zahlen > 1 Primzahlen sind. 3 ist eine Primzahl, 5 ist eine Primzahl, 7 ist eine Primzahl, 9 ist ein Meßfehler, 11 ist eine Primzahl, 13 ist eine Primzahl. Jetzt wurden genug Versuche gemacht und man kann die Behauptung als bewiesen ansehen.

Den Beweis aus einem modernen Lehrbuch abzuschreiben und dabei mangels Verständnis wesentliche Teile wegzulassen, ist nicht zielführend. Am besten man nimmt den Orginalbeweis aus den Euklischen Elementen aus Buch IX (der nämlich richtig ist, auch wenn er aus heutiger Sicht ungewöhnlich formuliert ist) und überträgt ihn selbstständig von der geometrischen auf die arithmetische Sprache. Dann kann das nämlich nicht passieren.

Aber tröste dich: Vor ziemlich genau 26 Jahren stand dein "Beweis" in der Süddeutschen Zeitung mit genau denselben Worten, so dass mein erster Gedanke war, dass du ihn von da abgeschrieben hast. Aber wer hebt schon die Süddeutsche Zeitung 26 Jahre lang auf? Damals gab es wenigstens viele Leserbriefe, die auf den Fehler hingewiesen haben. Das wurde anlässlich der Verleihung der Ehrendoktorwürde des Zahlentheortikers Wolfgang Schmidt aus Boulder durch die Universität Ulm abgedruckt. Der Beweis wurde korrekt von Prof. Wirsing aus der Abt. Zahlentheorie vorgetragen (ich war bei der Laudatio anwesend) aber eben dann unzulässig verkürzt wiedergegeben worden. 

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Ja. Es ist ein indirekter Beweis, das heißt, man nimmt das Gegenteil an (es gibt endlich viele, also nur eine begrenzte Anzahl) Primzahlen, und beweist,
dass das nicht stimmen kann. Da immer entweder eine Behauptung oder ihr
Gegenteil wahr ist, beweist man damit, dass es unendlich viele gibt.

Angenommen, es gäbe endlich viele, kann man die alle zu einer Riesenzahl
multiplizieren. Dann addiert man 1. Wenn man diese Riesenzahl jetzt durch
irgendeine Primzahl teilt, bleibt immer 1 als Rest. Die Zahl ist also durch
keine Primzahl teilbar, und das bedeutet, dass sie selbst eine Primzahl ist.

Das widerspricht aber der Annahme, dass wir schon alle Primzahlen
in der Riesenzahl "untergebracht" haben. Es kommt also immer noch eine
(viel) größere.

Als Beispiel: Wir nehmen an, dass es nur 3 Primzahlen
gibt - 2, 3 und 5. Wir multiplizieren die zu 30 und addieren
1. 31 ist aber auch eine Primzahl, obwohl wir angenommen
hatten, dass es nur 2, 3 und 5 gibt.


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Kommentar von Guteman
13.06.2016, 16:07

danke! :)

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Nimm an, du hättest eine (endliche) Liste aller Primzahlen.

Nun multipliziere alle Zahlen aus dieser Liste mit einander und addiere anschließend 1. Das Ergebnis ist durch keine Zahl aus deiner Liste teilbar, denn die Division würde ja immer den Rest 1 ergeben. Dein Ergebnis ist entweder selber eine Primzahl oder es enthält einen Primteiler, der nicht in deiner Liste ist.

So oder so: deine Liste ist unvollständig! Obige methode zeigt uns, dass jede endliche Liste von Primzahlen immer unvollständig ist. --> es gibt unendlich viele Primzahlen.

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