Frage von molotov53, 20

Mathe integrieren von Verkettung bzw Klammer?

Hallo, mein Ziel ist es zu integrieren, dass heißt von folgender Funktionsschar die Stammfunktion zu finden und damit dann die Bogenlänge zu haben:

Integral von 0 bis 10: (1+9/4a² x^1/4)^1/2dx

Also Integral von 0 bis 10: Aus Klammer auf, Eins plus Neun Viertel a hoch 2 mal x hoch Ein Viertel, Klammer zu, hoch Ein Halb mal dx.

Meine Lehrerin meint, das geht nicht zu integrieren aber was soll ich machen?

Danke

Antwort
von poseidon42, 7

Also betrachte folgendes Integral:

I = Int{ (1 + (9/(4a^2))x^(1/4) )^(1/2) }dx

Zunächst substituieren wir:

u = (3/(2a))*x^(1/8)

sei nun zur besseren Lesbarkeit k = (3/(2a))

damit folgt:

du/dx = k*(1/8) *x^(-7/8)

mit   x^(-7/8) = (u/k)^(-7)

--> du/dx = k^(8)*u^(-7)/8 = 1/(8*k^(-8)*u^7)

Somit folgt durch Substitution:

--> Int{ (1 + u^2)^(1/2)*8*k^(-8)*u^7}du

Wir substituieren nochmals:

u = sinh(z) ---> du/dz = cosh(z)

beachte 1 + sinh^2(z) = cosh^2(z)   (*)

--> Int{ (1 + sinh^2(z))^(1/2)*8*k^(-8)*sinh^7(z)*cosh(z)}dz

mit (*) folgt dann:

--> Int{ cosh(z)*8*k^(-8)*sinh^7(z)*cosh(z)}dz

und erneutes Anwenden von (*) liefert uns dann:

--> Int{ (1 + sinh^2(z))*8*k^(-8)*sinh^7(z)}dz

wir schreiben nun   g =  8*k^(-8)  

--> g*Int{ sinh^7(z) + sinh^9(z) }dz

Wir benutzen nun die Rekursionsformel (einfache partielle Integration):

Int{ sinh^n(z) }dz = cosh(z)*sinh^(n-1)(z)/n - Int{ sinh^(n - 2)(z)}dz

Damit folgt also:

Wir sehen damit sofort:

g*Int{ sinh^7(z) + sinh^9(z) }dz = g*( cosh(z)*sinh^8(z)/9 +1/9*Int{sinh^7(z)}dz)

Wir erhalten damit also ingesamt :

= g*cosh(z)*(sinh^8(z)/9 + 1/9*(sinh^6(z)/7 - 6/7(sinh^4(z)/5 - 4/5(sinh^2(z) - 2/3)))) + const.

Wir resubstituieren nun wieder. Es folgt aus u = sinh(z)

-> z = arsinh(u)   benutze (*) und erhalte cosh(z) = ( 1 + sinh^2(z))^(1/2)

Es folgt also:

= g*( 1 + u^2)^(1/2)*(u^(8)/9 + 1/9*(u^(6)/7 - 6/7(u^(4)/5 - 4/5(u^(2) - 2/3)))) + const.

Erneutes resubstituieren mit u = k*x^(1/8)  liefert schließlich:

= g*( 1 + k^2*x^(1/4))^(1/2)*(k^8*x/9 + 1/9*(k^6*x^(3/4)/7 - 6/7(k^4*u^(1/2)/5 - 4/5(k^2*x^(1/4) - 2/3)))) + const.

Wir setzen schließlich noch k = (3/(2a))  und g = 8*k^(-8) = 8*(3/(2a))^(-8)

= 8*(3/(2a))^(-8) *(1 + (3/(2a))^2*x^(1/4))^(1/2)*[ (3/(2a))^8*x/9 + 1/9*[ (3/(2a))^6*x^(3/4)/7 - 6/7*[ (3/(2a))^4*x^(1/2)/5 - 4/5*[(3/(2a))^2*x^(1/4) - 2/3]]]] + const

Hier mal in Wolfram Alpha dargestellt (unter Alternate Forms gibt es ein paar schönere Varianten und Schreibweisen):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*(3%2F(2a))%5E(-8)+*(1+%2B+(3%2F(2a))%5E2*x%5E(1%2F4))%5E(1%2F2)*%5B+(3%2F(2a))%5E8*x%2F9+%2B+1%2F9*%5B+(3%2F(2a))%5E6*x%5E(3%2F4)%2F7+-+6%2F7*%5B+(3%2F(2a))%5E4*x%5E(1%2F2)%2F5+-+4%2F5*%5B(3%2F(2a))%5E2*x%5E(1%2F4)+-+2%2F3%5D%5D%5D%5D

Das wäre dann die Stammfunktion, du musst dann nur noch die Integrationsgrenzen einsetzen und fertig.

Hier zur Überprüfung das meine Rechnung korrekt is (ist die gleiche Antwort)t:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral(+(1+%2B+(9*x%5E(1%2F4)%2F(4a%5E2)))%5E(1%2F2)dx)

Kommentar von poseidon42 ,

Falls noch nicht bekannt, es gilt:

cosh(z) = (e^(z) + e^(-z))/2    , "Sinus-Hyperbolicus"

sinh(z) = (e^(z) - e^(-z))/2      , "Cosinus-Hyperbolicus"

Man rechnet dabei schnell den hyperbolischen Pythagoras nach:

cosh^2(z) - sinh^2(z) = 1

Ebenso folgt daraus schnell:

(cosh(z))´ = sinh(z)

(sinh(z))´ = cosh(z)

Kommentar von poseidon42 ,

Wenn du die Grenzen einsetzt folgt:

F(0) = - 32768a^8/2066715

F(10) = 8*(3/(2a))^(-8) *(1 + (3/(2a))^2*10^(1/4))^(1/2)*[ (3/(2a))^8*10/9 + 1/9*[ (3/(2a))^6*10^(3/4)/7 - 6/7*[ (3/(2a))^4*10^(1/2)/5 - 4/5*[(3/(2a))^2*10^(1/4) - 2/3]]]]

(siehe Link)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*(3%2F(2a))%5E(-8)+*(1+%2B+(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4))%5E(1%2F2)*%5B+(3%2F(2a))%5E8*10%2F9+%2B+1%2F9*%5B+(3%2F(2a))%5E6*10%5E(3%2F4)%2F7+-+6%2F7*%5B+(3%2F(2a))%5E4*10%5E(1%2F2)%2F5+-+4%2F5*%5B(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4)+-+2%2F3%5D%5D%5D%5D

Damit gilt also:

Int(0, 10){ (1 + (9/(4a^2))x^(1/4) )^(1/2) }dx = F(10) - F(0)

= 8*(3/(2a))^(-8) *(1 + (3/(2a))^2*10^(1/4))^(1/2)*[ (3/(2a))^8*10/9 + 1/9*[ (3/(2a))^6*10^(3/4)/7 - 6/7*[ (3/(2a))^4*10^(1/2)/5 - 4/5*[(3/(2a))^2*10^(1/4) - 2/3]]]] - (- 32768a^8/2066715)

Und damit das gesamte Ergebnis (link):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*(3%2F(2a))%5E(-8)+*(1+%2B+(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4))%5E(1%2F2)*%5B+(3%2F(2a))%5E8*10%2F9+%2B+1%2F9*%5B+(3%2F(2a))%5E6*10%5E(3%2F4)%2F7+-+6%2F7*%5B+(3%2F(2a))%5E4*10%5E(1%2F2)%2F5+-+4%2F5*%5B(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4)+-+2%2F3%5D%5D%5D%5D+-+(-+32768a%5E8%2F2066715)

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