Frage von heinrich7777, 71

Mathe integral schwere aufgabe?

Hallo ich übe gerade für eine mathe arbeit morgen und weiß bei einer aufgabe einfach nicht weiter würde mich sehr über hilfe freuen. 

Aufgabe: Welche Ursprungsgerade mit y=kx halbiert die Fläche A? 

Fläche A ist die Fläche, die die Funktion y=-x^2+6x mit der x-Achse einschließt.Die fläche hab ich schon ausgerechne(A=36) 

aber ich weiß danach einfach nicht mehr weiter.

EDIT:

Lösung:  bereits ausgerechnet ist die Fläche A der Funktion mit A=36.

-> Die funktion besitzt die Nullstellen 0 und 6 : d.h. auch für die Urspr.gerade gilt,dass ihre A von 0-6 der hälfte entspricht:

Diese soll halbiert werden durch eine Urspr.-gerade mit f(x)=y=k*x  -> d.h. 

A=36/2 = 18 = Integral (  f(x)dx)=I ( k*x dx) =  k * I(x dx) = k *x² *0.5    mit grenzen eingesetzt:        

Gleichung: 18 = k*x²*0.5 mit  | x=0 bis x=6

-> 18 = k*6² * 0.5

36=36k

k=1

-> die gerade y=x schließt die halbe fläche der F(x)= -x² +6x= x(6-x) zwischen 0 und 6 ein.

kontrolle: A=18 ? :    I(1*x dx) von x=0 bis x=6 = 6²/2 = 18

w.A.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik & Schule, 34

Man kann eigentlich eine ganz einfache Lösung bringen,
f(x) = -x² + 6x  , das ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und 3. Da sie achsensysmmetrisch zu x=3  ist, reicht es, x = 3 als die Gerade anzugeben, die die Parabel halbiert.

Die Fläche ist mit 36 durchaus richtig ausgerechnet (von 0 bis 6). Aber laut Aufgabentext soll die Gerade ja mit mx beschrieben werden. Das ist dann überhaupt nicht  einfach.

Kommentar von Geograph ,

"Das ist dann überhaupt nicht  einfach."
aber auch nicht wirklich schwierig

Kommentar von Volens ,

Ich erkenne eine Flächte unter der Parabel, von der ich kein Dreieck subtrahieren kann, sondern eine Figur, deren eine Seite kurvig verläuft, nämlich im weiteren Verlauf der Parabel.

Das Integral der Parabel ergibt 3x² - x³/3 .
Das Integral der Geraden ist mx²/2 .
Subtrahiert müssten sie dann 18 F.E. ergeben.

Wenn ich jetzt noch -x²+6x = mx setze, habe ich die Tatsache abgebildet, dass an dieser Stelle die Funktionswerte gleich sind.

Das ergibt für m und x dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die 4 reelle Lösungen haben:

m = 0     x = 3        Das ist natürlich die Symmetrieachse
m = 1     x = 6
m = 4     x = -3
m = 9     x = -6

Und die anderen drei sind irgendwie implausibel bzw. die Schnittpunkte liegen zu weit weg.

Ich muss wohl noch etwas länger auf die Werte gucken!

Kommentar von Geograph ,

"Ich erkenne eine Fläche unter der Parabel, von der ich kein Dreieck subtrahieren kann, sondern eine Figur, deren eine Seite kurvig verläuft, nämlich im weiteren Verlauf der Parabel."

Ich habe nochmal ein Bild gepostet, das verdeutlichen soll, was ich meine. Die Fläche zwischen Parabel und Hypothenuse des Dreiecks soll die Hälfte der Parabelfläche werden. Also Fläche der Parabel von 0 bis x minus Dreiecksfläche x * (-x²+6x) / 2 berechnen.

m kann dann aus  x und y des Schnittpunktes der Parabel berechnet werden

Kommentar von Geograph ,

Hallo Volens,
bezugnehmend auf Deine Antwort zu dem von mir (weiter unten) geposteten Bild muß ich jetzt doch nochmals nachfragen, denn ich kann bei der Lösung der Aufgabe keine Doppeldeutigkeit irgendwelcher Parameter erkennen.

Die Fläche unter der Parabel (y = -x² + 6x) als Funktion von x ist doch
gleich dem Integral der Parabelfunktion in den Grenzen von 0 bis x
Fp(x) = -x³/3 + 3x²
Die Fläche des eingeschriebenen rechtwikligen Dreiecks, das von der Geraden y = mx und ihrem Schnittpunkt mit der Parabel gebildet wird ist
Fd(x) = x * (-x² + 6x) /2
Die Differenz der beiden Flächen soll 18 ergeben.
Fp(x) - Fd(x) = (-x³/3 – 3x²) – (-x³/2 + 3x) = 18

Damit ergib sich eindeutig x³ = 108 bzw. x = 4,732
und mit dem zugehörigen y – Wert der Parabel y = 5,895
den Anstieg der Gerade m = y/x = 1,238

Gruß vom Geographen




Kommentar von Volens ,

Eigentlich hatte ich diesen Thread schon wieder vergessen, aber ich muss es wieder aufgreifen, da ich nach einer PN von Geograph erneut veranlasst wurde, die Aufgabe nochmal zu betrachten.
Irgendwo hatte ich da einen Denkfehler oder habe mich verrechnet, denn tatsächlich schneiden sich
die Kurve               f(x) = -x² + 6x
und die Gerade        y = 1,238x 
außer in (0|0) noch im Punkt (4,762|5,89536).

Dann ist das Differenzintegral:

4,762
  ∫    -x² + 6x - 1,238x  ≈  18 F.E.
 0

wie gefordert.
Das musste noch gesagt werden.
Die HA gehört Geograph. Er hat sich viele Mühe gegeben (auch mit mir).

Kommentar von Volens ,

Schade, dass man die Kommentare nicht ordnen kann.

Antwort
von Geograph, 24

Parabel f(x) = -x² +6x
Gerade g(x) = mx

Fp(x) = -x³ / 3+3x² ist die Funktion der Fläche der Parabel
Die Fläche zwischen den Nullstellen 0 und 6 ist 36
Die gesuchte Fläche ist 18
Das ist gleich dem Integral von 0 bis x abzüglich der Fläche eines Dreiecks, das die Gerade g(x) = mx mit der x-Achse bildet: Fdr = x * (-x² + 6x) /2

-x³ / 3 + 3x² + x³ / 2 - 3x² = 18
x³ = 108

x = 3.Wurzel(108)

Damit kann dann m berechnet werden

Kommentar von Geograph ,

m = 1,238 ?

Antwort
von Zwieferl, 11

Eine Fläche zwischen 2 Kurven ist das Integral der Differenz der beiden Kurven zwischen deren Schnittpunkten, also:

  • Schnittpunkte berechnen: -x²+6x = mx ⇒ -x·(x-6+m9 = 0 ⇒ x₁=0; x₂=6-m
  • Integrieren: (die halbe Fläche ist 18!) 18 = ∫(-x²+6x-mx)·dx ⇒ 18 = -x³/3+3x²+m·x²/2 ⇒ Grenzen einsetzen und gleichung nach m auflösen!
Antwort
von Kaenguruh, 22

Du mußt rechnen ∫ (x^2 + 6x - mx) = ∫ mx. Das heißt, daß die Fläche zwischen der Funktion und der Geraden gleich der Fläche zwischen der Geraden und der x-Achse ist. Und daraus mußt Du m bestimmen (auflösen).

Antwort
von Kaenguruh, 27

Die "Lösung" 36 ist falsch, da in der Aufgabenstellung keine Integrationsgrenzen angegeben sind und somit das Integral noch eine Funktion von x sein muß.

Antwort
von Kaenguruh, 17

Ok, ich habe mich geirrt, da wahrscheinlich die Fläche zwischen y-Achse und Kurve gemeint ist. 

Antwort
von Geograph, 10

@ Volenz

Kommentar von Volens ,

Genauso sieht die Skizze auf meinem Tisch aus. Das ändert aber nichts daran, dass die entsprechende Gleichsetzung die vier Doppelparameter ergibt, die ich niedergeschrieben habe und die eigentlich nicht die Lösungen sein können, obwohl die Differenz der Flächen in allen vier Punkten exakt 18 ergab. Doch der Augenschein spricht dagegen.

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