Frage von looolig1013, 28

Mathe: Ich muss eine gegebene Exponentialfunktion zur Basis e darstellen können (Aufgabe in der Beschreibung)?

Aufhabe: in einem Teich werden zwei Algenkolonien ausgesetzt. Zu Beginn bedeckt Kolonie Alpha 300cm^2 und Kolonie Beta 800cm^2. Alpha vermehrt sich Tag für Tag um 60%. Beta wächst etwas langsamer, nämlich um 20%.
a) geben Sie für beide Kolonien die jeweilige Wachstumsfunktion an
b) Stellen Sie für beide Kolonien die Wachstumsfunktion zur Basis e dar.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 4

"exponentielles Wachstum y=f(x)= ao * e^(b *x)

"exponentielle Abnahme" y=f(x)= a0 * e^(- b *x)

zu b)

N(x)= No * e^(b*x)

1. N(o)= No * e^(b*0)= No * 1

2. N(1)= No*e^(b * 1) hier ist x=1 1 Tag

N(0)/N(1)= No/No * 1/e^(b *1) ergibt N(0)/N(1)= 1/e^b

e^b= 1* N(1)/N(0) logarithmiert

b= ln(N(1)/N(0)= ln(160/100)=0,47

also ist die Formel N(x)=100 * e^(0,47 *x) für die Algen "Alpha"

PROBE : x=1 (Tag) N(1)= 100 * e^(0,47 *1)=160 Algen nach 1 Tag

2. b= ln(120/100)=0,1832..

also Formel N(x9= No * e^(0,1832 *x) für Alge "Beta" 

PROBE : N(1) = 100 * e^(0,1832 *1)=120  Algen nach 1 Tag

zu a. hier gilt die Formel y=f(x)= ao * a^x

Dies ist eine "geometrische Folge " mit der Formel an= ao * q^n

ao= 100 Anfangswert und a1= 160 Algen "Alpha" nach 1 Tag

q= (an+1)/(an)= 160 /100 = 1,6 

ergibt die Formel an= ao * 1,6^n= 100 * 1,6^n

Mit n=1  (1 Tag) ergibt an= 100 * 1,6^1= 160 Algen "Alpha" nach 1 Tag

Alge "beta" q=a=120/100= 1,2 

Formel somit an= 100 *1,2^n

PROBE : an= 100 * 1,2^1= 120 Algen "Beta" nach 1 Tag 

Antwort
von clemensw, 12

Keine Hausaufgabenhilfe, sondern ein Tipp:

Kolonie A wächst pro Tag um 60%, hat also 

nach einem Tag 160% = 1,6 erreicht, 

nach 2 Tagen 160%*160% = 1,6*1,6 =1,6², 

nach 3 Tagen 160%*160%*160% = 1,6*1,6*1,6 = 1,6³

usw.

Daraus läßt sich sehr leicht die Exponentialform erkennen:

f(n) = 300cm² * 1,6^n

wobei n die Anzahl der Tage ist.

Für Kolonie B geht das genau so.

Anschließend soll diese Exponentialfunktion zur Basis e umgeformt werden (Aufgabe b). Hier hilft die dieses Video weiter: 

Antwort
von iokii, 16

Hast du denn schon Teil a) geschafft?

Kommentar von looolig1013 ,

Ich habe da f(t)-=300*e^1,6t (hoffe es ist richtig)
Aber ich verstehe nicht wie oder was man ausrechnen muss :/

Kommentar von clemensw ,

Also das ist schon mal komplett falsch...

Kann man auch recht schnell ausrechnen:

Kolonie A hat am Tag 0 die Fläche 300cm² und nach 1 Tag 300cm² * 1,6 = 480cm²

Nach deiner Formel wären es aber 300*e^(1,6*1)= 300 * e^1,6 = 1486cm²

Kann also nicht hinhauen...

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