Frage von Kyrili, 59

Mathe Hilfe (vektoren)?

Hallo :)

Ich muss morgen eine LZH abgeben und wollte nochmal fragen ob ich mir sagen könntet ob das so "richtig" ist wie ich es aufgeschrieben habe :)

(Berechne den Flächeninhalt vom Dreieck)

b) A ( 1 | 2 | 3 ) B (-3 | -2 | -2) C ( 1 | 3 | -4 )

Von A zu B: 1 zu -3 = -4; 

2 zu -2 = -4; 

3 zu -2 = -5 

Von A zu C: 

1 zu 1 = 0; 

2 zu 3 = 1; 

3 zu -4 = -7 

Von B zu C: 

-3 zu 1 = 4; 

-2 zu 3 = 5; 

-2 zu -4 = -2

AB = ( -4 | -4 | -5 ) => | AB | 

AC = ( 0 | 1 | -7 ) => | AC | 

BC = ( 4 | 5 | -2 ) => | BC |

| AB | = √((-4)^2+(-4)^2+(-5)^2 ) = 7,54 LE | AC | = √(0^2+1^2+(-7^2 ) ) = 7,07 LE

Flächeninhalt A = ½ * |AB | * | AC | = ½ * 7,54 * 7,07 = 26,65 FE

Danke im Vorraus :D

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 14

Hallo,

der Flächeninhalt des Dreiecks ist gleich der Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt zweier Seiten.

Du kannst beispielsweise die Vektoren B-A und C-A bilden, die den Dreieckseiten c und b entsprechen.

B-A=(-3|-2|-2)-(1|2|3)=(-4|-4|-5)

C-A=(1|3|-4)-(1|2|3)=(0|1|-7)

(-4|-4|-5)x(0|1|-7)=(33|-28|-4)

Der Betrag davon ist die Wurzel aus (33²+28²+4²)=43,46, davon die Hälfte ist 21,73 FE

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Kyrili ,

Dankeschön für ihre ausführliche Antwort! 

Als ich jedoch das ganze bei b) angewendet habe kam das was von -524 FE raus.

Das kann doch nicht stimmen oder?

Kommentar von Willy1729 ,

Da mußt Du Dich verrechnet haben.

Ich habe es für die Vektoren AB und AC sowie für BA und BC durchgerechnet und bin in beiden Fällen auf die gleiche Fläche gekommen (was nicht weiter erstaunlich ist, da es sich schließlich um dasselbe Dreieck handelt).

Kommentar von Kyrili ,

Oh, entschuldigen sie.

Ich meinte die Aufgabe a) die ich hier gar nicht reingestellt hatte.

Verzeihung, meine Schuld :)

A ( -1 | 2 | 0 )          B ( 1 | 2 | 4 )           C ( -1 |-3 | 5 )

 

VonA zu B: -1 zu 1 = 2;    2 zu 2 = 0;    0 zu 4 = 4

VonA zu C: -1 zu -1 = 0;   2 zu -3 = -5;   0 zu 5 = 5

VonB zu C: 1 zu -1 = -2;   2 zu -3 = -5;  4 zu 5 = 1

 

AB= ( 2 | 0 | 4 )      => | AB |

AC= ( 0 | -5 | 5 )     => | AC |

BC = ( -2 | -5 | 1 )    => | BC |

 

| AB | =  =  4,47LE

| AC | =  =  7,07LE

Das sind meine ergebnisse bei a) und da kam dann leider -524 raus 

Kommentar von Willy1729 ,

Weißt Du denn überhaupt, wie man das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnet?

(a/b/c)x(x/y/z)=(bz-cy/cx-az/ay-bx)

Beispiel:

(1/-2/2)x(3/-1/4)=((-2*4)-(2*(-1)/2*3-(1*4)/1*(-1)-(-2*3))=

(-6/2/5)

Kommentar von Kyrili ,

Hmmm weiß nicht ob ich richtig liege..

Habe jezz für am Ende  (0/0/4) * (0/-5/5) = (0/0/20)

und ich glaube diese rechnung stimmt nicht aber die Daten schon.

Was habe ich falsch gemacht? :/

Kommentar von Kyrili ,

also wie sind sie hier

(-4|-4|-5)x(0|1|-7)=(33|-28|-4)

auf das ergebnis gekommen?

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe doch im Kommentar geschrieben, wie ein Kreuzprodukt berechnet wird. Das darfst Du nicht mit dem Skalarprodukt verwechseln. Das Skalarprodukt ist eine Zahl, das Kreuzprodukt ein Vektor.

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn Du die beiden Vektoren, deren Kreuzprodukt Du bilden willst, nebeneinanderstehen hast, multiplizierst Du die mittlere Koordinate des linken mit der unteren Koordinate des rechten Vektors, davon ziehst Du das Produkt aus der unteren des linken und der mittleren des rechten ab; Du arbeitest über Kreuz, deshalb Kreuzprodukt. Das Ergebnis ist die oberste Koordinate des Kreuzvektors.

Nun multiplizierst Du die unterste Koordinate des linken mit der obersten des rechten Vektors und ziehst davon das Produkt aus der obersten des linken und der untersten des rechten Vektors ab. Das ist die mittlere Koordinate des Kreuzvektors.

Zum Schluß multiplizierst Du die oberste Koordinate des linken Vektors mit der mittleren des rechten und ziehst davon wieder das Produkt aus der mittleren des linken und der obersten des rechten Vektors ab. So bekommst Du die letzte Koordinate des Kreuzvektors. Der Betrag dieses Vektors ist die Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Die Hälfte davon ist dann logischerweise die Dreiecksfläche.

Kommentar von Willy1729 ,

Bei der Aufgabe gehst Du auch am einfachsten über das Kreuzprodukt.

Du bildest zwei Vektoren, die vom gleichen Punkt des Dreiecks ausgehen, z.B. von Punkt A. Das sind dann die Vektoren AB und AC, also B-A und C-A, nämlich (2/0/4) (hast Du auch) und 
(0/-5/5) (auch richtig).

Jetzt bildest Du ABxAC=(2/0/4)x(0/-5/5)=(20/-10/10)

Daraus der Betrag ist die Wurzel aus (400+100+100) also die Wurzel aus 600=24,49, davon die Hälfte ergibt 12,245 FE

Kommentar von Kyrili ,

Okay das scheint auch mit der Lösung meiner Mitschüler übereinzustimmen, danke vielmals!

Aber eine Frage hätte ich dann noch, und zwar wie sind Sie bei zB 

(2/0/4)x(0/-5/5)=(20/-10/10) auf das Ergebnis gekommen? (zb sind 2*0 doch 0 und nicht 20 oder bin ich zu blöd? :D 

Kommentar von Willy1729 ,

0*5-(4*(-5))=0-(-20)=20

Du ziehst immer zwei Produkte voneinander ab.

Kommentar von Kyrili ,

Ahh okay super danke und schönen Abend/Nacht noch! :)

Antwort
von gfntom, 29

Deine Rechnungen stimmen soweit.

Die Formel für die Dreiecksfläche stimmt nur für rechtwinkelige Dreiecke, bei denen der Rechte Winkel zwischen AB un AC ist. Der Nachweis dafür fehlt noch (ich habe jetzt nicht überprüft, ob da einer ist)

Kommentar von Kyrili ,

Danke für ihre Antwort!

Und kann man die Formel so umändern das sie auf diese Aufgabe anwendbar ist? 

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Man müsste schon wissen, was ihr schon so kennt. Winkelfunktionen? Kreuzprodukt? Welche Klassenstufe, welches Vorwissen? 

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Nö, da ist keiner :-)

Die drei Seitenquadrate sind 

|AB|²  = 57

|AC|²  = 50

|BC|² = 45

Kein Pythagoras, kein rechter Winkel. 

Kommentar von Kyrili ,

Okay, und haben Sie eine Idee welche Formal man hier benutzen könnte?

Bin Klasse 13, habe aber nur Grundkurs und nicht viel Vorwissen :D

Kommentar von gfntom ,

Das ist natürlich eleganter als mein Vorschlag! ^^

Kommentar von gfntom ,

Du brauchst die Höhe über einer Seite.
Du kannst das Dereieck in 2 Rechtwinkelige Dreiecke zerlegen, indem du sie einer Höhe entlang durchschneidest.
Einen Rechten WInkel hast du dann zwischen Höhe und einer Teilstrecke einer Seite. Um die Teilstrecke herauszufinden, kannst du das Skalarprodukt anwenden.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 17

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/flaecheninha...

hier findest du ne Formel AD , mit der du schnell durch einsetzen der Punkte den Flächeninhalt berechnen kannst

Kommentar von Kyrili ,

Danke für ihre Hilfe, aber welche dieser Formeln wäre es denn eigentlich genau?

Meiner Meinung nach treffen da mehrere zu oder nicht?

Kommentar von Ellejolka ,

die vereinfachte Form

AD = 1/2[xA(yB - yC) + .................

Kommentar von Kyrili ,

Ahh okay, Dankeschön

Und dann muss ich für A B und C nur die einzelen Werte die schon gegeben waren einsetzen oder die ausgerechneten?

Kommentar von Ellejolka ,

genau so ist es, die Werte der Punkte A,B,C

Antwort
von FataMorgana2010, 26

Warum kannst du diese Formel für den Flächeninhalt (nicht) benutzen? Wann ist der Flächeninhalt eines Dreiecks 

A = a * b * 1/2 (a und b sollen die Seiten sein). 

Wann nicht? Hast du die Voraussetzungen geprüft? 

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