Mathe Grenzwert x^n?

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2 Antworten

n ist eine beliebige natürlich Zahl und du brauchst für diese Aufgabe kein L`Hospital.....

1^n = 1 das gilt für beliebige n somit ist auch lim x->1 von x^n immer 1

Damit errechnet sich dein Grenzwert zu 0

limx->1 x^n - 1 = 1^n - 1 = 0

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Kommentar von Hanna9191
28.07.2016, 15:56

Prima, dann betrachte ich die n´s einfach nicht und nur die Zahlen. Wäre ein 2x^2n = 1? Oder ist das auch = 0

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Kommentar von PeterKremsner
28.07.2016, 16:05

Gehen wir von lim x -> 1 (x^n-1)/(x-1) dann haben wir 0/0 eine unbestimmte Form und wenden L`Hospital an:

lim x -> 1 (x^n-1)/(x-1) = lim x -> 1 (n*x^(n-1))/1 = lim x -> 1 n*x^(n-1).

Weil der Grenzwert lim x->1 n*x^(n-1) für alle n existiert kann man hier auch den Satz von L'Hospital anwenden und das Ergebnis ist:

n*1^(n-1) = n

Der Grenzwert ist somit n und nicht 0 wie oben geschrieben!!!

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Ja, das richtige Aufschreiben der Aufgaben ist schon schwer ;)

Wo wir jetzt herausgefunden haben, dass f(x) = (x^n - 1)/(x-1) betrachtet wird, ist die Aufgabe auch erst durch L'Hôspital lösbar.

Wenn x -> 1, dann bekommen wir einen indefiniten Bruch, nämlich 0/0, hier lässt sich L'Hôspital also anwenden:

Der Zähler abgeleitet ist (x^n - 1)' = n x^(n-1), der Nenner abgeleitet ist (x-1=' = 1, also lim x->1 f(x) = lim x -> 1 n x^(n-1) = n.

LG

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