Frage von lsfarmer, 52

Mathe Funktionen im Studium keine Ahnung?

Verbesserte Auflage meiner Frage.

Ich weiß, sieht ein bisschen doof aus, hier Arbeitsblätter reinzustellen, aber es geht um das absolut schlimmste Thema in Mathe: Funktionsanalyse. Ich konnte es in der Schule schon nicht und es wird immer schlimmer, da ich bald nicht mehr weiterkomme. Also wenn einer Hilfreiche Tipps zur Lösung hat, dann gerne sagen. Aber nicht sowas wie: "Das musst du selber wissen" oder so, denn wenn ich es wüsste oder nen Ansatz hätte, würde ich hier nicht fragen!!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 18

Hallo,

was studierst Du denn?

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen (bei komplexen Funktionen aus der Menge der komplexen Zahlen), die Du für x einsetzen darfst, ohne daß Du auf so etwas stößt wie etwa eine Division durch Null oder die Wurzel aus einer negativen Zahl oder den Logarithmus von einer Zahl, die kleiner oder gleich Null ist, also alle Zahlen, die Du in die Gleichung einsetzen kannst, ohne daß der Taschenrechner eine Fehlermeldung ausgibt.

Bei der ersten Funktion f(x)=(x+1)/(x-1) kannst Du für x alles außer 1 einsetzen. Setzt Du für x eine 1 ein, wird der Nenner Null und eine Division durch Null ist nicht definiert.

Bei der zweiten Funktion darf der Ausdruck unter der Wurzel, also x²-4, nicht negativ werden. Das passiert immer dann, wenn x² kleiner als 4 ist und das passiert für alle x, die zwischen -2 und 2 liegen.

Definitionsbereich ist also hier R ohne alle x, für die gilt: -2<x<2

Du darfst also für x alles einsetzen, was auf der Zahlengeraden herumlungert, wenn es nicht zwischen -2 und 2 liegt. -2 und 2 aber darfst Du einsetzen, denn dann hast Du unter der Wurzel eine Null stehen und aus Null darfst Du die Wurzel ziehen.

Aufgabe 2a sieht zwar zunächst nach einer ungeraden Funktion aus, weil nur ungerade Exponenten für x auftauchen.

Du kannst aber durch x kürzen, so daß Du die gerade Funktion x^4/(x^2+1) erhältst.

Dennoch muß vor dem Kürzen der Definitionsbereich geklärt werden. Der umfaßt alle x, für die der Nenner (natürlich der ursprüngliche Nenner x³+x nicht Null wird.

Du kannst den Nenner nach Ausklammern von x auch als x*(x²+1) schreiben, so daß die Nullstellen nun direkt ablesbar sind: x=0 ist hier die einzige Nullstelle, denn x²+1 wird niemals kleiner als 1.

x*√x dagegen ist für alle x<0 nicht definiert. Hier gibt es also keine Symmetrie.

Bei Aufgabe 3a) brauchst Du nur den Zähler auf Nullstellen zu untersuchen, also x²-9=0 oder x²=9 (darauf achten, daß es zwei Lösungen gibt, nämlich die positive und die negative Wurzel aus 9)

Du mußt nur sehen, daß die Nullstellen auch definiert sind, daß also bei den Nullstellen nicht auch der Nenner Null wird. Da der Nenner hier x+1 lautet, ist dies hier aber nicht der Fall.

Bei Aufgabe 3b) hast Du es mit dem Satz vom Nullprodukt zu tun, nämlich daß ein Produkt immer dann gleich Null wird,wenn einer der beiden Faktoren Null ergibt.

e^x wird niemals Null. So mußt Du nur noch den Term mit der Klammer auf Nullstellen untersuchen: x²-3x+2=0 Tipp: pq-Formel oder faktorisieren:

(x-1)*(x-2)=0 (Nullprodukt)

Faktorisieren geht manchmal schneller als die pq-Formel. Du zerlegst die Zahl ohne x, hier also die 2 in zwei Faktoren und siehst, welches Faktorenpaar als Summe die Zahl vor dem x ergibt.

2=1*2, 1+2=3 (geht nicht)

2=(-1)*(-2), -1-2=-3 (paßt)

Also:

x²-3x+2=(x-1)*(x-2), Nullstellen: x=1 oder x=2

Aufgabe 4:

Es gibt vier Arten von Monotonie: (streng) monoton fallend, (streng) monoton steigend. Wenn eine Funktion streng monoton fallend ist, wird der Funktionswert für steigende x-Werte immer kleiner, es geht sozusagen ständig bergab. Ist sie nur monoton fallend (also ohne streng) kann es auch mal eine Zeitlang waagerecht gehen. Für (streng) monoton steigend gilt Entsprechendes).

Du überlegst also, ob der Funktionsgraph keine Berg- und Talbahn darstellt, also keine Maxima oder Minima aufweist. Das bedeutet, daß die Ableitung der Funktion niemals Null wird (streng monoton) oder, wenn sie Null wird, dies die zweite Ableitung an dieser Stelle auch wird, weil dann ein Sattelpunkt vorliegt, so daß die Funktion dann zwar nicht mehr streng, aber immerhin noch monoton wäre.

f(x)=x³+2x

f'(x)=3x²+2

Nullstellen?

3x²+2=0

3x²=-2

x²=-2/3

Hierfür gibt es keine reelle Lösung, es handelt sich demnach um eine streng monotone Funktion.

Ob fallend oder steigend prüfst Du nach, indem Du für x z.B. eine 1 und eine 0 einsetzt und prüfst, ob f(1) größer (steigend) oder kleiner (fallend) als f(0) ist

f(0)=0

f(1)=1³+2*1=3, was eindeutig größer als 0 ist.

Es handelt sich um eine streng monoton steigende Funktion.

Die Umkehrfunktion einer Funktion bestimmst Du, indem Du anstelle von f(x) y schreibst, danach x und y vertauschst und die so entstandene Funktion nach y auflöst:

y=1/(2x)

x=1/(2y)

2y=1/x

y=1/(2x)

Diese Funktion ist also mit ihrer Umkehrfunktion identisch.

Da nur x>0 betrachtet werden sollen, geht es hier nur um den Teil rechts von der y-Achse.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von lsfarmer ,

Das ist wenigstens mal ne Antwort, wo sich ein Stern lohnt!

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von losthorizon, 13

ok. Fangen wir mal bei 1a an. Hier ist wichtig, dass der Nenner nicht gleich null wird. Diesen Fall muss man als erstes ausschließen. Wann würde er 0 werden?

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