Frage von Toffefee, 69

Mathe funktion 3 grades HILFEE?

Ich weiß einfach überhaupt nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll und schreibe bald eine Arbeit darüber bitte helft mir. Hier die Aufgabe: Eine Parabel 3. Ordnung ist symmetrisch zum Ursprung und verläuft durch die Punkte P und R. Bestimmen Sie eine mögliche Gleichung der Parabel. P(3/0) R(5/5)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 29

allgemein lautet die Funktionsgleichung 3. Grades: f(x)=ax³+bx²+cx+d

Da die Funktion symmetrisch zum Ursprung sein soll, muss die Funktion  ungerade sein, es muss also f(-x)=-f(x) gelten, und das ist nur der Fall, wenn die Exponenten von x ungerade sind, also fallen b und d weg und es bleibt f(x)=ax³+cx.

Jetzt kannst Du mit den beiden gegebenen Punkten zwei Gleichungen aufstellen und somit die beiden verbliebenen Unbekannten ermitteln.

Kommentar von Toffefee ,

okey ich versuche viele dank! :)

Antwort
von schmiedebach, 25

Schreib dir erstmal die gegebenen Informationen raus:

Was ist gesucht?f(x)= x^3 - x² + x

Welche Punkte habe ich?P(3/0)
R(5/5)

Das ganze löst du jetzt nach dem Gauß-Algorithmus, oder wie auch immer du das in der Schule gelernt hast.

Kommentar von Toffefee ,

wie kommt man auf x hoch 3 - x hoch 2 + x? :/

Kommentar von Wechselfreund ,

Am besten gar nicht. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung kann es keinen geraden Exponenten geben...

Antwort
von Aleksakisu, 26

Du hast eine Funktion dritten Grades. Sie sieht also so aus:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Außerdem hast du zwei Punkte angegeben und weißt, dass die Parabel symmetrisch zum Ursprung verläuft. Daraus kannst du schließen:

f(3)=0

f(-3)=0

f(5)=5

f(-5)=-5

Wenn du diese Informationen jeweils in die Funktion von oben einsetzt, erhältst du vier Gleichungen:

I 0=a*3^3+b*3^2+c*3+d, also 0=27a+9b+3c+d

II 0=a*(-3)^3+b*(-3)^2+c*(-3)+d, also 0=-27a+9b-3c+d

III 5=a*5^3+b*5^2+c*5+d, also 5=125a+25b+5c+d

IV -5=a*(-5)^3+b*(-5)^2+c*(-5)+d, also -5=-125a+25b-5c+d

Wenn du diese vier Gleichungen mit vier Unbekannten miteinander kombinierst, kannst du Werte für a, b, c und d ausrechnen. Diese setzt du dann einfach in die Funktion oben ein und erhältst die Funktion, die in der Aufgabe gesucht ist.

Falls du nicht genau weißt, wie du das machst, oder dir einer der anderen Schritte noch unklar ist, frag ruhig nochmal nach :)

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 17

Ein Polynom 3-ten Grades hat folgende parametrisierte Form -->

y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d

Da 4 unbekannte Parameter vorhanden sind müssen dir auch 4 Punkte bekannt sein.

Du kennst die Punkte P(3/0) und R(5/5)

Aus der Punktsymmetrie-Bedingung zum Ursprung erhältst du sofort 2 weitere Punkte, nämlich die folgenden -->

Q(-3/0) und S(-5/-5)

Nun hast du deine 4 Punkte zusammen.

Dann kannst du ein Gleichungssystem aufstellen -->

1.) a * 3 ^ 3 + b * 3 ^ 2 + c * 3 + d = 0

2.) a * 5 ^ 3 + b * 5 ^ 2 + c * 5 + d = 5

3.) a * (-3) ^ 3 + b * (-3) ^ 2 + c * (-3) + d = 0

4.) a * (-5) ^ 3 + b * (-5) ^ 2 + c * (-5) + d = -5

Wenn du das auflöst, dann erhältst du -->

a = 1 / 16

b = 0

c = -9 / 16

d = 0

Also -->

y = f(x) = (1 / 16) * x ^ 3 - (9 / 16) * x

Kommentar von Wechselfreund ,

... evtl. von vornherein wegen Punktsymmetrie b und d = 0 setzen?

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, das kann man machen, aber ich wollte es ganz verallgemeinert zeigen ;-))

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 4

TIPP :Besorge dir einen Graphikrechner (Casio),wie ich einen habe.Damit kannst du sehr leicht solche Funktionen untersuchen (10,20,30 oder mehr)

Form y=f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2+a1 *x + ao

Lösung ist y=0,0625 *x^3 - 0,526 * x

Aus der Bedingung Symetrie zum Ursprung ergibt sich ao=0 sonst geht die Kurve nicht durch den Ursprung.

der Term  a2 *x^2 verschiebt die kurve auf der x-Achse und beeinflußt den Kurvenverlauf zwischen den Nullstellen.Wegen der Forderung Symetrie zum  Ursprung ist dieser Term auch Null

die Funktion hat somit die Form y=f(x)=a3 * x^3 + a1 *x

aus den beiden Punkten kann man nun a3 und a1 ermitteln

1. 0=a3 *3^3 + a1 * 3

2. 5=a3 *5^3 + a1 *5 ergibt a3=0,0625 und a1=-0,562

2 Gleichungen mit 2 Unbekannte kannst du lösen

Nullstellen bei x1=-3,25 und x2=0 und x3=3,24

Maximum bei xmax=- 1,879 ymax=0,829

Minimum xmin=1,879 und ymin=- 0,829

Aus den Werten sieht man,dass die Nullstellen und die Extremstellen genau sysmetrisch zum Ursprung liegen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

hiermit dann a und c berechnen.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community