Frage von katze19, 36

mathe Frage zu einer Aufgabe bitte?

Zeigen sie, dass sich die graphen f(x) und g(x) in einem punkt berühren und geben sie die gemeinsame Tangente an.

f(x)= x^3+1 g(x)= x^2+x

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Ansatz:

f(x)=g(x)

x³+1=x²+x  | -x²-x

x³-x²-x+1=0 | Umschreiben

(x-1)²*(x+1)=0

Satz vom Nullprodukt anwenden:

(x-1)²=0

(x-1)*(x-1)=0

x-1=0 | +1

x1=0 (doppelte Nullstelle)

x+1=0 ------------> x2=-1


Da bei x1 eine doppelte Nullstelle vorliegt, berühren sich die Graphen dort.

Der Punkt lautet (1|2)


Nun ist die Tangente aufzustellen.

t(x)=mx+n 


Die Koordinaten des Berührpunktes setzt du ein.

2=m+n

Du bildest die Ableitung von f(x).

f'(x)=3x²

f'(1)=3


2=3+n | -3

-1=n


t(x)=3x-1


Anzumerken ist hierbei, dass die Tangente den Graphen f aufgrund seines Randverhaltens im negativen x-Bereich schneidet. Ob man das durch Transformation irgendwie verhindern kann, weiß ich nicht.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 6

1. Möglichkeit : ausprobieren,weil diese Funktionen ziemlich einfach aussehen.

x=1 ergibt f(x)=1^3 + 1=2 und g(x)=1^2 + 1 =2 also ist hier ein berühungspunkt

2. Möglichkeit f(x)=g(x) also beide funktionen gleichsetzen

x^3 +1 =x^2 + x ergibt 0=x^3-x^2-x+1 nullstellen bei x1= - 1 und x2= 1

dies sind mögliche Berühungspunkte .Hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt. Solltest dir auch einen zulegen.

auch hier muss man 1 Nullstelle raten und dann einen Linearfaktor abspalten (Polynomdivision).dies führt dann zur quadratischen Gleichung,wo dann die anderen Nullstellen mit der p-q-Formel ermittelt werden.

Die Nullstelle x1= - 1 fällt weg ,da hier nicht f(-1) ungleich g(-1) ist

Berührungspunkt ist also nur x1=1

Aus den Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentiageometrie"

Formel der Tangentengleichung yt (x0)=ft(xo)= f´(xo) * (x - xo)+ f(xo)

xo=1   g´(x)=2 *x +1 und f(1)=1 +1=2 in Formel eingesetzt´

yt=(2 * 1 + 1) * x - (2 *1 +1) * xo + 2=3 * x - 3 + 2 = 3 *x - 1

prüfe auf Rechenfehler. 

TIPP : Wenn du kein Mathe-Formelbuch und keinen Graphikrechner hast,besorge dir dies Ausrüstung oder du hast sonst schwere Nachteile gegenüber den Schülern,die diese Ausrüstung haben.

Antwort
von Sala15, 18

Also du setzt beide Gleichungen gleich also f (x)=g (x)
Den x wert setzt du in eine der Gleichungen ein und erhält den y-wert für den Punkt an dem sich beide graphen berühren :)
Dann bildest du eine Ableitung für eine der Gleichungen und setzt den x-wert des Berührungspunktes ein um so die Steigung der Tangente auszurechnen also das m in t (x)= mx+n
Dann setzt du den berührpunkt in die Tangentengleichung ein und kannst nach n auflösen :) somit hast du dann auch die Tangentengleichung

Antwort
von poseidon42, 18

f(x) = g(x) 

Schnittpunkt berechnen und dann muss in diesem Punkt gelten:  

f´(x) = m      m = Steigung von g(x)

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