Frage von xoni22, 72

Mathe Extremwertfunktionen Erklären?

Hallo, kann mir das jemand erklären, evtl. am Bespiel der Aufgabe 16?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 50

Was genau willst du jetzt wissen? Was ein Extremwert überhaupt ist? Wie man ihn und die zugehörige Stelle berechnet? Wie man die zu maximierende Zielfunktion in Aufgabe 16 aufstellt?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 23

Hallo,

bei Extremwertaufgaben benötigst Du eine Zielfunktion, deren Ableitung Du gleich Null setzt, um den Extremwert herauszufinden; dazu eine Nebenbedingung, mit deren Hilfe Du eine Unbekannte eliminieren kannst.

Die Nebenbedingung bekommst Du aus dem Umfang, der mit 2m angegeben ist.

Der Umfang berechnet sich aus dem Halbkreis über dem Rechteck und dem Rechteck selbst, von dem Du nur die Unterseite und die beiden Seiten rechts und links brauchst.

Die Unterseite ist 2r, das Doppelte vom Halbkreisradius r, die beiden Seiten nennst Du h.

Umfang ist also 2r+2h+π*r (der Umfang des Halbkreises), das soll gleich 2 sein:

2r+2h+πr=2 (durch 2 teilen; muß nicht sein, ist aber praktisch):

r+h+0,5πr=1

Nach h auflösen:

h=1-r-0,5πr=1-r(1+0,5π).

Die Rechteckfläche soll maximal werden. Sie berechnet sich aus 2r*h.

Wenn Du nun h durch 1-r(1+0,5π) ersetzt, bekommst Du die Zielfunktion
f(r)=2r*[1-r(1+0,5π)]=2r-2r²*(1+0,5π)

f'(r)=2-4r*(1+0,5π)

Dies soll Null werden:

2-4r*(1+0,5π)=0 |:2

1-2r*(1+0,5π)=0

2r*(1+0,5π)=1

2r=1/(1+0,5π)
r=1/(2+π)

Dann ist h=1-[1/(2+π)*(1+0,5π)]=0,5

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von kempi87 ,

die querschnittfläche soll maximal werden. bei dir ist nur das rechteck maximal. da fehlt die fläche des halbkreises

Kommentar von Willy1729 ,

Jau, 

hatte ich vergessen. Die Rechteckseiten sollen so verändert werden, daß der gesamte Querschnitt maximal wird.

h ist trotzdem gleich 1-r-r*π/2, nur die Zielfunktion ist nicht mehr

2r*h, sondern 2r*h+r²*π/2 (Es kommt also noch die Halbkreisfläche dazu.

Auch hier wird h wieder ersetzt, um f(r) zu bekommen:

f(r)=2r*(1-r-r*π/2)+r²*π/2=2r-2r²-r²*π+r²*π/2=-2r²-r²*π/2+2r=

2r-2r²*(1+π/4)

f'(r)=2-4r*(1+π/4)

2-4r*(1+π/4)=0 |:2

1-2r*(1+π/4)=0

2r=1/(1+π/4)

r=1/(2+π/2)=0,2800495768

dann ist auch h =0,2800495768 (nach Einsetzen in h=1-r-r*π/2)

Gruß,

Willy

Antwort
von kempi87, 32

Also hausaufgaben werden dir hier nicht gemacht...
Du musst erstmal die formeln für die fläche und den umfang aufschreiben. Rechteckseiten a und b und dadurch den radius des halbkreises.
Dann musst du die formel für den umfang aufstellen damit er 2m beträgt.
Dadurch kannst eine variable a oder b auflösen. Also a durch b darstellen.
Zb 2m=a×b -> a=2m/b
Das setzt du in die formel für die fläche ein und leitest diese ab und setzt sie 0.
Also den extremwert.

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