Frage von Scheyed, 41

Mathe Exponentialfunktionen Hilfe bitte, wie geht das?

Gegeben ist f mit f(x)= ex - 2e^0,5x und g mit g(x) = -1/2x^3 + 3x - 2 K ist das Schaubild von f, G ist das Schaubild von g.

a) Weisen Sie nach, dass sich K und G in den Punkten N(2/0) und S(0/-2) schneiden und dass es auch einen Schnittpunkt mit negativer x-Koordinate gibt.

b) Die Gerade mit der Gleichung x = u schneidet K im Punkt P und G im Punkt Q. Bestimmen Sie einen Wert für u > 0, so dass P und Q einen Abstand von 1 haben.

Brauche dingend eine ausführliche Lösung mit Erklärung wenn es geht. Ich kann Mathe aber das Thema kapiere ich einfach nicht.

Danke :).

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

(Du hast ein Klammerpaar vergessen:

f(x)= ex - 2e^(0,5x )

sonst hieße es f(x)= ex - 2(e^0,5)x

und es wäre besser, f(x)= e * x - 2 e^(0,5x) zu schreiben, weil man sonst schnell denkt, du hättest das "^" zwischen "e" und "x" nur vergessen.)

Zu a)

Die beiden genannten Schnittpunkte lassen sich leicht durch Einsetzen nachweisen. Aber du hättest hier mit reinschreiben sollen, dass du das schon getan hast. (Viele Leute hier reagieren ziemlich ungehalten, wenn jemand nicht zeigt, dass er sich wenigstens eigene Gedanken gemacht hat.)

Für den Schnittpunkt mit negativer x-Koordinate weist du nach, dass

(a) f'(0) > g'(0) ist - damit ist für einen Bereich links von x = 0   f(x) < g(x),

(b) es ein x1 < 0 gibt, für das f(x1) > g(x1)  oder, dass lim (x->-∞) f(x) > lim (x->-∞) g(x) - wobei für die Grenzwerte auch +∞ und -∞  zugelassen sind

und wendest den Zwischenwertsatz an

(Oder du weist einfach nach, dass es ein x1 < 0 und ein x2 < 0 gibt, für die f(x1)-g(x1) und f(x2)-g(x2) unterschiedliche Vorzeichen haben, die Existenz mindestens eines Schnittpunktes folgt aus dem Nullstellensatz https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/saetze-ueber... , einem Spezialfall es Zwischenwertsatzes)

Zu b)

Eine Gerade mit der Gleichung x = u ist eine Parallele zur y-Achse.

Bist du schon darauf gekommen, dass es darum geht, ein x bzw. ein u so zu bestimmen, dass

| f(u) - g(u) | = 1

gilt?

Die Bestimmung eines solchen u ist nicht wirklich leicht, es gibt keine algebraische Lösung. www.wolframalpha.com liefert für

solve ( ( e x - 2 e^(0.5x) ) - ( -1/2 x^3 + 3x - 2 ) )^2 = 1 for x

6 verschiedene Lösungen, von denen 5 positiv sind. Aber keine von ihnen lässt sich als Term (elementarer Funktionen in x und e) darstellen.

Kommentar von Scheyed ,

Danke für die tolle Antwort, nur leider kann ich damit nicht viel anfangen, ist kompliziert geschrieben.
Ich habe es so gemacht, ich habe angefangen das N (2/0) in jeweils beide Funktionen einzusetzen und zu lösen, anschließend das S (0/-2).

Ist das den richtig? Und habe ich dann das bewiesen oder was?

An Gleichsetzen hab ich auch zuerst irgendwie gedacht, nur weiß ich nicht ob das stimmt?

Dan habe ich noch eine Frage, unzwar, beim logarithmieren muss das e alleine stehen, welches e? Das auf der linken oder rechten Seite vom = Zeichen wenn man auf jeder Seite eines hätte? oder müsste man das zusammenfassen dann?

Und hätten Sie vielleicht das Ergebnis damit ich auch weiß ob ich es geschafft habe? Wäre super nett von Ihnen.

Danke vielmals.

Kommentar von PWolff ,

Nun, bei N und S habe ich 2 bzw. 0 für x in die Funktionsterme für f(x) und g(x) eingesetzt und das Ergebnis ausgerechnet. In beiden Fällen ergibt sich jeweils derselbe Wert für f(x) und g(x) und stimmt mit der y-Koordinate des betreffenden Punktes überein.

Für den Schnittpunkt mit x<0 habe ich meine Kenntnisse über Polynome und Exponentialfunktionen herangezogen.

Für x->-∞ geht e^(0,5x) gegen 0, e * x gegen -∞ (und zwar 1. Grades); dies behandelt f(x). g(x) geht für x->-∞ gegen +∞, da der höchste Koeffizient negativ ist (und zwar 3. Grades).

D. h. für genügend kleine x ist f(x) < g(x).

Für x = 0 ist f(x) = g(x); um den Zwischenwertsatz anwenden zu können, brauche ich noch eine Stelle x<0, für den f(x) > g(x) ist.

Dass so eine Stelle existiert, kann man über die Ableitungen nachweisen. Man kann aber auch ein x herausnehmen und hierfür zeigen, dass f(x) > g(x) ist. x = -1 erfüllt diesen Zweck; jetzt kommt es noch drauf an, wie mathematisch exakt der Lehrer/Dozent den Nachweis haben will.

Die beiden e wird man nicht zusammen los.

Die einzigen Fälle, wo sowohl x als auch f(x) rational sind, sind schon in N und S angegeben. (Der Begriff "transzendente Zahlen" dürfte weit über euren Stoff hinausgehen - aber dies sind auch die einzigen Fälle, wo sowohl x als auch f(x) algebraisch (= nicht-transzendent) sind. Es gibt also keine geschlossene Darstellung für die übrigen Schnittpunkte oder auch die Punkte, wo sowohl x als auch der Abstand von f(x) und g(x) einen algebraischen Wert annimmt.

Die sechs Stellen, wo f(x) und g(x) den Abstand 1 haben, liefert

www.wolframalpha.com/ 

mit der Eingabe

solve ( ( e x - 2 e^(0.5x) ) - ( -1/2 x^3 + 3x - 2 ) )^2 = 1 for x

Kommentar von Scheyed ,

Ich habe es so, erst habe ich das x=2 von N(2/0) in f eingesetzt, das sieht dann bei mir so aus:

f(x)=e*2-2e^(0,5*2)
f(x)=e*2-2e^(1)
f(x)=0

Also habe ich damit bewiesen das N(2/0) auf f liegt richtig?

Dann habe ich x=0 von S(0/-2) in f eingesetzt:

f(x)=e*0-2e^(0,5*0)
f(x)=-2e
Aber hier stimmt doch was nicht oder?

Und dann muss ich die x werte auch bei der g einsetzen?
Muss ich die Y-Werte von N und S nicht mal einsetzen?
Sprich, ich habe es so gemacht:

Y=0 von N(2/0) eingesetzt in f:
0=e*x-2e^(0,5x)
0=0,5x-2*e+e*x     I +2e
2e=0,5x+e*x          I -e
e=0,5x                   I /0,5
e/0,5 = x
x= 5,4366

Aber das ist ja auch falsch, nur ich weiß nicht wo ich etwas falsch gemacht habe.

Genauso als ich das Y von S eingesetzt habe:

-2=e*x-2e^(0,5x)
-2=0,5x-2e+e*x       I +2e
-2+e=0,5x+e*x        I -e
-2+e=0,5x                I /0,5
x=(e-2)/0,5
x= 1,4366

Das ist aber genauso falsch. oder habe ich es richtig?
Wissen sie was ich falsch mache?
Muss ich den die Y-Werte einsetzen? oder kann man das als Probe machen?

Kommentar von PWolff ,

1. Richtig. Mit f(x) = 0 hast du bewiesen, dass N auf K liegt (also dem Graphen von f).

2. e^0 = 1

3. Ja, du musst dieselben x-Werte auch in den Funktionsterm von g einsetzen.

4. Die Y-Werte bekommst du für f(x) und g(x) heraus, die musst du nicht einsetzen, sondern mit diesen Ergebnissen vergleichen.

5. Die Rechnung, wo Y = 0 in f eingesetzt wird, ist überflüssig (Und schon in der 2. Zeile falsch )

6. Ebenfalls überflüssig, derselbe Fehler in Zeile 2

Übrigens lässt sich f(x) = y nicht nach x auflösen.

7. Nein, ich kann den Schritt von

e * x - 2 e^(0,5 x)

zu

0,5 x - 2 e + e^x

nicht nachvollziehen.

8. Die y-Werte der Punkte dienen zur Kontrolle und nichts weiter.

Kommentar von Scheyed ,

1. Ok dann hab ich das schon einmal richtig.

2. e^0=1 ist mir im nachhinein auch aufgefallen, jedoch kommt man trotzdem auf f(x)=0 oder etwa nicht? Und das wäre dann falsch oder liegt der Punkt S (0/-2) einfach dann nicht auf f?

3. Danke

4. Alles klar.

5. Wie wäre die Rechnung den richtig? (auch wenn man das gar nicht benötigt hier)

6. Wie wäre es hier richtig? Und ich verstehe nicht was Sie mit f(x)=y meinen.

7. Man darf bei Exponentialfunktionen doch den Exponent nach vorne ziehen oder?

8. Danke vielmals für Ihre nette Hilfe.

Kommentar von PWolff ,

(Info: In den meisten deutschsprachigen Internet-Foren ist es üblich, sich mit "du" anzureden, so auch hier.)

1. Ok dann hab ich das schon einmal richtig.

2. e^0=1 ist mir im nachhinein auch aufgefallen, jedoch kommt man trotzdem auf f(x)=0 oder etwa nicht? Und das wäre dann falsch oder liegt der Punkt S (0/-2) einfach dann nicht auf f?

0,5 * 0 = 0 und e^0 = 1, damit ist
f(x) = e*0 - 2 e^(0,5*0) = 0 - 2 e^0 = 0 - 2 * 1 = -1

3. Danke

4. Alles klar.

5. Wie wäre die Rechnung den richtig? (auch wenn man das gar nicht benötigt hier)

0 = e*x - 2 e^(0,5*x)
Substitution: x1 := 0,5 x => x = 2 x1
0 = 2 e x1 - 2 e^x1
0 = e x1 - e^x1
e^x1 = e*x1
e^(x1-1) = x1

Diese Gleichung lässt sich nur numerisch lösen. (Das gilt generell für e^(Polynom(x)) = Polynom(x), außer in ein paar Spezialfällen.)

6. Wie wäre es hier richtig? Und ich verstehe nicht was Sie mit f(x)=y meinen.

-2 = e*x - 2 e^(0,5*x)
Substitution: x1 := 0,5 x => x = 2 x1
-2 = 2 e x1 - 2 e^x1
-1 = e x1 - e^x1
e^x1 = e*x1 + 1

Auch diese Gleichung lässt sich nur numerisch lösen.

7. Man darf bei Exponentialfunktionen doch den Exponent nach vorne ziehen oder?

Das verstehe ich nicht
- bei Ableitungen wird der Vorfaktor der Ableitungsvariablen nach vorn gezogen, aber das ist kein "darf", sondern ein "muss"
- Man darf einen Exponenten aufteilen, aber die Bestandteile bleiben immer noch Exponenten
a^(b+c) = a^b * a^c
a^(b*c) = (a^b)^c
- und selbst wenn e^(0,5 x) = 0,5 x e^x wäre, würde immer noch der Faktor 2 fehlen: es müsste 2 * 0,5 x heißen

8. Danke vielmals für Ihre nette Hilfe.

Gerne.

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