Frage von Biber99, 37

Was bedeutet "Analytische Geometrie"?

Ich hab Wikipedia mal durchforstet und da mich Mathe interessiert hab ich den Artikel zu Kreistangenten gefunden. Ich wolte mal fragen was das bedeutet. https://de.wikipedia.org/wiki/Kreistangente ich meine den Abschnitt Analytische Geomtrie.

Danke im Voraus

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von claushilbig, 10

"Die analytische Geometrie ... ist ein Teilgebiet der Geometrie, das algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt. Sie ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen."
(https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Geometrie)

Kommentar von Biber99 ,

Und das speziell auf den artikel bezogen?

Kommentar von claushilbig ,

Sorry, ich muss zugeben, dass das mit den Vektoren bei mir seeeehr lange her ist und ich damit auch immer Probleme hatte (in der Schule hatte ich das gar nicht, und musste dann im Studium irgendwie damit klarkommen ...).

Ich versuche trotzdem mal, das zu "übersetzen":

Erst mal eine Voraussetzung (das steht da nicht besonders, sondern ist einfach so): ein Kreis ist "nur" eine Menge von Punkten, und zwar die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M den gleichen Abstand (den mal allgemein Radius nennt) r haben.


  • (Zeile 1) Nehmen wir an, es gibt irgendeinen beliebigen Kreis, dann nennen wir die Punktmenge dazu k. Dieser Kreis soll den Radius r haben und den Mittelpunkt M. Der Mittelpunkt soll die Koordinaten (xM|yM) haben. 
  • (Zeile 3) Nehmen wir weiter an, es gibt eine Tangente an diesen Kreis k. Dann gibt es auch einen Punkt, an dem die Tangente den Kreis berührt, diesen Berührpunkt nennen wir B. Auch dieser Punkt B hat Koordinaten, die wir mit (xB|yB) bezeichnen. B ist ein Punkt des Kreises und damit natürlich ein Element der Punktmenge k.
  • (Zeile 2) Dann gibt es einen Vektor (bildlich: einen "Pfeil") vom Punkt M zum Punkt B. Die Länge dieses "Pfeils" ( |MB| = Betrag des Vektors) ist der Radius r des Kreises. Man kann den Kreis k analytisch entweder über diesen Zusammenhang beschreiben, oder über die andere gegebene Gleichung: wenn man einen beliebigen Punkt mit den Koordinaten (x|y) nimmt, liegt er genau dann auf dem Kreis, wenn diese Gleichung erfüllt ist (das beruht auf dem Satz des Pythagoras).
  • (Zeile 4) Wenn das nun alles so gegeben ist, kann man die Tangente folgendermaßen berechnen:
  • (Zeile 7) Nehmen wir einen beliebigen Punkt auf der Tangente und nennen den X, mit den Koordinaten (x|y).
  • (Zeile 5) Dann ist das Vektorprodukt des "Pfeils" von M nach B mit dem "Pfeil" von M zu diesem Punkt X gerade gleich dem Quadrat des Radius r.
  • (Zeile 6) Oder anders gesagt: die Koordinaten der Punkte M, B und jedes beliebigen Punktes X auf der Tangente müssen die gegebene Gleichung erfüllen - da alle Koordinaten (außer denen von X) und auch r "bekannt" sind, kann man die Koordinaten für jedes beliebige X so berechnen.

Um das zu verstehen, muss man natürlich schon mal was von Koordinaten, Mengen und möglichst auch von Vektoren gehört haben ...

Kommentar von Biber99 ,

Danke hat mir sehr geholfen!

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 37

Da steht doch ziemlich eindeutig drin, was das alles bedeutet, was davon verstehst du denn nicht ?

Kommentar von Biber99 ,

Das bei Analytische Geometrie.

Kommentar von DepravedGirl ,

Das ist mir schon völlig klar, aber WAS !! davon verstehst du nicht ??

Kommentar von Biber99 ,

Die zweite Zeile und die letzten drei

Kommentar von DepravedGirl ,

Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt, dieser hat die Koordinaten x _ M und y _ M, außerdem hat jeder Kreis einen Radius, hier r genannt.

Die Gleichung in Zeile 2 beschreibt den Kreis.

Die Koordinaten x _ B und y _ B sind die Koordinaten des Berührpunktes.

Der Berührpunkt liegt auf dem Kreis.

Die vorletzte Zeile beschreibt die Gleichung der Tangente.

Alle x und y die diese Gleichung erfüllen liegen auf der Tangente.

Besser kann ich es auch nicht erklären, sorry, ich hoffe du hast es jetzt verstanden.

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