Frage von michellebo, 55

Mathe, bin am verzweifeln, könnte mir des bitte wer erklären?

Guten Abend, Ich gehe in die 9. Klasse einer Mittelschule und habe im Moment Potenzen und wurzeln in der Schule. In der Hausaufgabe is jedoch eine Aufgabe die ich nicht lösen kann, und zwar : 3x³=x²-15

Ich weiß ja wie ich variable mit identischer Hochzahl Isolieren kann, aber bei unterschiedlichen weiß ich nich wie ich des machen soll.

Könnte mir des bitte jemand erklären? :D Wir schreiben am Freitag einen Leistungsnachweis.

Danke für alle Antworten! :D

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 35

Hallo,

das geht nur mit Näherungsverfahren, die Ihr in der neunten Klasse bestimmt noch nicht behandelt. Eine Lösung für x ist -1,605773101.

Um auf diesen Wert zu kommen, könntest Du eine Wertetabelle erstellen und sehen, zwischen welchen Werten für x der Funktionswert das Vorzeichen wechselt. Zwischen diesen Werten muß die Nullstelle liegen. Dann kannst Du die Suche immer weiter eingrenzen, indem Du immer engere Intervalle einsetzt, bis Du der Nullstelle auf 2 oder 3 Stellen hinter dem Komma nahegekommen bist. 

Hast Du durch die Wertetabelle eine ungefähre Ahnung, wo die Nullstelle sein könnte, kannst Du auch mit dem Newton-verfahren weitermachen. Du wählst ein x, das sich nah bei der vermuteten Nullstelle findet, und ziehst davon die Differenz vom Funktionswert dieser Stelle und der Ableitung dieser Stelle ab,

also x₀-f(x₀)/f'(x₀). Das Ergebnis wird Dein neues x₀, das Du wieder in die Gleichung einsetzt. So arbeitest Du Dich immer näher an die Nullstelle heran. Mit einem Tabellenprogramm geht das komfortabler. Wenn sich die Werte nicht mehr nennenswert ändern, kannst Du aufhören. Runde auf zwei oder drei Stellen und Du hast es.

Da eine Funktion dritten Grades bis zu drei Nullstellen haben kann, müßtest Du noch eine Polynomdivision machen, also f(x) durch (x-x₀) teilen, um eine quadratische Funktion zu erhalten, deren Nullstellen Du nach dem pq-Verfahren oder der abc-Formel ermitteln kannst.

Andererseits könntest Du, da das Ding von minus unendlich nach plus unendlich geht und bei 15 die y-Achse schneidet, die Ableitung f'(x)=9x²-2x auf Null setzen, dann bekämst Du die Stellen, wo der Graph der Kurve noch mal zwei Schlenker macht. Der erste muß auf jeden Fall im positiven Bereich sein, beim zweiten, x=2/9, müßtest Du durch Einsetzen in die Funktion
f(x)=3x³-x²+15 sehen, ob es hier noch einmal in den Minus-Bereich geht. Ist dies nicht der Fall - ist es nicht - liegen keine weiteren Nullstellen vor, weil es ab da nur noch bergauf geht.

Ich kann aber kaum glauben, daß man Euch so etwas in der neunten Klasse als Hausaufgaben aufgibt. Bist Du sicher, daß hinter der 15 nicht noch ein x gestanden hat? Dann wäre es nämlich wesentlich einfacher.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von RosalieSophie, 20

Selbst im Mathe LK haben wir sowas noch nicht gemacht (muss der Taschenrechner lösen). Selbst mit Ausklammern würde immernoch die Konstante übrig bleiben. Stünde die Konstante nicht dort, könntest du die x² auf die andere Seite bringen, dann x ausklammern, dann hast du ein Produkt gleich null und bei einem Produkt gleich null ist einer der Faktoren gleich null. Da dies aber nicht so ist wegen des Faktors, funktioniert das nicht, erst recht nicht in der 9.

Antwort
von YStoll, 55

Bist du sicher, dass die Aufgabe genau so lautet? Für die 9. Klasse ist das nämlich ziemlich schwer, wenn ich jetzt nichts übersehe.

Kommentar von michellebo ,

Ja, bin ich. :D ich weiß ned wie des funktionieren soll.

Kommentar von YStoll ,

Na gut, die exakte Lösung lautet
1/9 - 1/9 * (3643/2 - 27/2 * (18205)¹/²)¹/³ - 1/9 * (3643/2 + 27/2 * (18205)¹/²)¹/³.
Wie man darauf kommt kann ich dir im Moment noch nicht sagen, brauche dafür noch einen Moment. Und eine Formel, die man in der Schule nur sehr selten lehrt. Selbst nach dem Abitur kennt die eigentlich kaum ein Schüler.

Kommentar von YStoll ,

Ok, ich kann dir den Lösungsweg nicht ohne weiteres erklären.
Du kannst dir aber gerne etwas über entsprechende Methoden durchlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Anmerkung: Wenn ihr noch keine komplexen Zahlen hattet, wird es schwer zu verstehen, wie man so etwas lösen kann.
Ich gehe sehr stark davon aus, dass ihr noch keine komplexen Zahlen hattet. Ich habe damals in der 10. zum ersten mal davon gehört. Das ist ein weiteres Thema, das nichteinmal im Abi behandelt wird, sondern meistens erst auf Uni-niveau erwähnt wird (zumindest mit G8).

Kommentar von Willy1729 ,

Die berüchtigten Cardanischen Formeln. Damit löst doch kein normaler Mensch eine kubische Gleichung. Hast Du doch eben auch nicht gemacht - oder? Ich habe meinen Rechner bemüht, der hatte es in Sekundenbruchteilen gefunden. Das Newton-Verfahren geht auch noch.

Aber danke für die Antwort. War auf jeden Fall interessant.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Die Lösung stimmt jedenfalls, hab's gerade nachgerechnet; ich weiß aber auch nicht, warum.

Willy

Kommentar von YStoll ,

Wäre ich Pro-Mitglied bei Wolfram-Alpha könnt ichs dir sagen. Da hab ich auch meine Lösung her :P
Ist übrigends die einzige reelle Lösung, habe mir es gespart einem Neutklässler komplexe Lösungen an den Kopf zu werfen also schähme ich mich nur begrenzt für meine ungenaue Formulierung bezüglich der Lösung.

Kommentar von michellebo ,

Vielen Dank! wenigstens noch Leute die helfen wollen :D hat sich aber herausgestellt das es ein Druckfehler war, weil bei einer Freundin was anderes Drin gestanden is.. trotzdem vielen Dank!

Kommentar von YStoll ,

Was ne Überraschung...

Kommentar von Willy1729 ,

Wußte ich's doch. Das war nie und nimmer eine Aufgabe für einen Neuntkläßler, höchstens auf einer Schule für Hochbegabte. Naja, da hätte es wohl auch ein Viertkläßler gelöst - aber nicht mit der Cardanischen Formel.

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