Mathe Beweis das 2^n >= n^2 ist?

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5 Antworten

Hallo,

wenn für n>=4 gilt, daß 2^n>=n² ist, dann muß bewiesen werden,

daß 2^(n+1)>=(n+1)² ist

2^(n+1)=2*2^n

(n+1)²=n²+2n+1

2*2^n ist das Doppelte von 2^n.

Das ist größer oder gleich n²+2n+1, wenn dies nicht mehr als das Doppelte von n² ist. n² muß also größer oder gleich 2n+1 sein für alle n >=4.

Hier kannst Du noch einmal mit der vollständigen Induktion einsetzen.

Für n=4 stimmt die Behauptung: 16>=9

Dann muß gelten: (n+1)²>=2n+3

n²+2n+1>=2n+3

Die rechte Seite der Gleichung ist nur um 2 größer als 2n+1. Dafür kommt auf der linken Seite aber n² als Summand hinzu, der für n>=4 immer höher als 2 ist.

Damit ist n² für alle n>=4 größer oder gleich 2n+1. n²+2n+1 kann also nicht mehr als doppelt so groß wie n² werden. 2*2^n ist also für alle n>=4 immer größer oder gleich n²+2n+1

Herzliche Grüße,

Willy

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(IA) Sei n = 4, dann 2^4 = 16 >= 16 = 4^2.

(IS) 2^(n+1) = 2*2^n = [IV] 2(n^2) = n^2 + n^2 >= n^2 + 2n +1 = (n+1)^2.

Einzige Sache die du noch per Hand zu zeigen hast: n^2 >= 2n + 1, wenn n >= 3. Da genau diese 3 kleiner als der Induktionsanfang (4) ist, funktioniert der Induktionsschritt auch immer, das sollte man anmerken.

LG

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Kommentar von Roach5
22.02.2016, 13:30

Anmerkung: Vor dem [IV] sollte ein >= stehen und kein =.

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Du meinst wohl bis auf n = 2

Ich habe dir mal die Graphen gezeichnet. Hoffe es hilft dir weiter.

In der Darstellung wurde n durch x ersetzt.

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Kommentar von Willy1729
22.02.2016, 14:03

n=3 als Ausnahme stimmt schon:

2³=8, 3²=9

Hier stimmt die Behauptung also nicht, daß 2^n größer oder gleich n² ist. Für n=1 stimmt sie: 2^1>1², für n=2 stimmt sie auch:

2²=2²

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Der beste Beweis ist in der Tat durch Induktion. Wenn ich dir jetzt die Lösung präsentiere, dann kann ich aus langjähriger Erfahrung als Tutor sagen, dass die Studenten/Schüler, die diese Aufgabe nicht selber lösen zu hoher Wahrscheinlichkeit in der Prüfung durchfallen oder knapp mit einer sehr schlechten Note bestehen. Daher gebe ich dir nur einen Tipp und rate Dir es dann selbstständig, oder noch besser in einer Gruppe zu lösen.

Tipp: Induktionsanfang ist n = 4

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Kommentar von jungyukim
22.02.2016, 12:41

Für die Fälle n=1, n=2 und n=3 musst du übrigens jeweils einzeln nochmal zeigen, sonst ist der Induktionsanfang mit n=4 unvollständig

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Kommentar von okarin
22.02.2016, 13:13

Das hab ich bereits versucht das Problem ist nur das ich dann für die induktion auf eine Ungleichung der Form 2*2^n >= n^2 + 2n + 1 komme da ich aber ne Ungleichung habe kann ich ja nur sagen das 2^n >= n^2 ist. Wie kann ich da jetzt irgendwie was rauslesen. Ich mach das übrigens eh nur weil ich Lust hab studier leider noch kein Mathe :(

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lim n->unendlich (2^n)/(n^2) > 1 für n > 2.

Dann noch l'Hospital eventuell :) Bin gerade aus dem Thema aus. Lange her :p

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Kommentar von Reyha24
22.02.2016, 12:17

n > 3.

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