Frage von Mensch24, 44

Wer kann mir helfen bei einer Mathe-Aufgabe zum Thema Ebenengleichung?

Hallo, ich habe eine Aufgabe bekommen und bräuchte dabei bitte Hilfe.

Gegeben ist:

Ea: (5a−4)x+(8−6a)y+(2−6a)z=−6a−4

E0:−4x+8y+2z=−4

E1:x+2y−4z=−10

Schnittgerade von E0 und E1 x= (6,0,10)+t ⋅ (6,1,8) ---> Klammern sind Vektoren

Aufgabe: Ermitteln Sie eine Gleichung einer Ebene Ea2 in der Schar Ea, für die gilt: Die Ebene E0 wird durch die Spiegelung an der Ebene Ea2 in die Ebene E1 überführt.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 6

Schöne, seltene und anspruchsvolle Aufgabe - reif fürs Abitur?

1. In Deiner Schnittgeraden gs muss ein Fehler sein, denn (6,0,10) liegt nicht auf E1.
(Lösung von MatheAss: (-9/2 , -11/4 , 0) + r(18,7,8) )

2. E0 wird auf E1 gespiegelt. gs ist Schnittgerade, bleibt also bei der Spiegelung erhalten. Somit muss gs "Teil" von Ea2 sein. Es ist also "nur noch" ein zweiter Richtungsvektor (RV) zu bestimmen.

3. Welche Eigenschaften muss dieser RV besitzen? Z.B.: er soll orthogonal sein zu gs. Außerdem muss er mit E0 bzw. E1 jeweils den halben Winkel, der zwischen E0 und E1 liegt, bilden. Eine dritte Bedingung ist nicht erforderlich, da die Länge des RVs beliebig ist.

Soweit meine Gedanken. Ich füge zur Veranschaulichung eine Zeichnung (erstellt mit MatheAss) bei.

Hoffentlich habe ich keinen Denkfehler in meinen Überlegungen.

Hilft Dir das weiter?

Antwort
von Polynomo, 4

Hallo Mensch24,

das mit dem Spiegeln hört sich in der Tat leicht an, ist aber schwer in Gleichungen zu fassen, wenn es sich im Raum abspielt, wo Du aber nur lineare Dinge betrachtest.

Gehe deshalb einen recht einfachen Weg folgendermaßen:

Ermittle die Schnittgerade der beiden Ebenen E0 und E1, überprüfe dabei Dein Ergebnis anhand der Lösung von KDWalther, vielleicht hat sich bei Dir ein Tippfehler oder aber ein Rechenfehler eingeschlichen.

Diese Schnittgerade liegt natürlich auch in der gesuchten Ebene Ea2, kann dann also für die Ebenengleichung verwendet werden.

Jetzt kommt mein Vorschlag:

Nimm irgend eine Gerade und schieße sie durch die beiden Ebenen E0 und E1, dann erhältst Du also 2 Schnittpunkte - im Normalfall, bei recht viel Pech natürlich nur 1 ( gemeinsamen ) Punkt oder aber sehr viele Punkte, wenn nämlich die Gerade zufällig in einer der Ebenen zu liegen kommt. Aber mache es Dir leicht, es ist ja z.B. jede Koordinatenachse auch eine Gerade !!!

Also normalerweise hast Du jetzt 2 Punkte, einen in E0 und einen in E1.

Jetzt kommt eine wichtige Eigenschaft des Spiegelns ins Spiel, denn es handelt sich dabei um eine Kongruenzabbildung, also sind z.B. Strecken kongruent, also gleichlang.

Das bedeutet für Deine Aufgabe, dass die gesuchte Spiegelebene Deine Strecke zwischen E0 und E1 genau halbiert. und jetzt nimmst Du also genau den Mittelpunkt Deiner Strecke, und zusammen mit der Schnittgerade von vorhin bildet er die gesuchte Ebene Ea2, also muss nach der Aufgabenstellung die Gleichung auch zu der Schargleichung passen !!!

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