Frage von Jerrycrafting, 57

Mathe Ableitung Frage 11. Klasse?

Wie leitet man folgenden Therm ab: 1/(x^2-4)

Mit Erklärung bitte. Ich verstehe es einfach nicht.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 41

2 Möglichkeiten (mindestens):

1. Da der Term ein Quotient ist, kannst Du mit der Quotientenregel ableiten.

2. Du formst zuerst um: f(x) = 1 / (x²-4) = 1 · (x²-4)^(-1)
Nun kannst Du mit der Kettenregel ableiten.

Langt das als Hilfe?

Kommentar von Jerrycrafting ,

Durch die Quotientenregel komme ich ja auf

[(x^2-4)-(2x)] / (x^2-4)^2 richtig? Ist das dann die endgültige Form?

Kommentar von eddiefox ,

Hi,

es ist etwas unglücklich hingeschrieben, wahrscheinlich meinst
du das Richgite.

Hier noch einmal ausführlich:

Quotientenregel:
---------------

u(x) = 1; v(x) = x²-4
u'(x)= 0; v'(x)= 2x

Regel: (u/v)' = (u'v-uv')/v²

Nun einach die Regel "abschreiben":

f'(x) = [0•(x²-4)-1•2x]/(x²-4)² =

= -2x/(x²-4)²

Nach der Kettenregel:
--------------------

f(g(x))' = f'(g(x))•g'(x)

wobei f(g(x))=1/g(x) und g(x)=x²-4

Ich schreib es mal so:

f(y) = 1/y = y⁻¹, also f'(y) = (-1)y⁻² = -1/y²

(hier bedeutete ' "nach y ableiten")

g'(x) = 2x

Nun einsetzen:

f'(x) = (-1)g(x)⁻² •g'(x)

= -1/(x²-4)² •(2x)

= -2x/(x²-4)²

Wie man sieht, kommt das gleiche raus,
was auch so sein muss, ansonsten hätte
man sich irgenwo verrechnet.

Gruß


Kommentar von Jerrycrafting ,

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, ich habe es jetzt verstanden!

Antwort
von surbahar53, 42

Das ist eine verkettete Funktion mit

f(x) = 1/x = x^-1 und g(x) = x^2-4

Die Ableitung ist dann

f'( g(x) ) * g'(x ) = - ( x^2-4 )^-2 * ( 2x ) = - 2x / ( x^2-4 )^2

Antwort
von fjf100, 5

Mit der "Kettenregel" ,siehe Mathe-Formelbuch kapitel "Differentationsregeln/elementare Ableitungen"

f(x)= 1/(x^2-4) Substitution (ersetzen) z=x^2-4 z´=dz/dx= 2 *x

f(z)= 1/z= z^(-1) nach der "Potenzregel" ableiten

f´(z)= - 1 * z^(- 2)=- 1/z^2

"Kettenregel" anwenden ergibt f´(x)=f´(z) * z´

f´(x)=  - 1/z^2 * 2*x = - 2*x/(x^2-4)^2

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