Frage von ddd321, 80

Mathe Ableitung einer Funktion mit hoch x -Kann mir bitte jemand helfen?

Hallo, habe folgende Funktion: f(x)=2^(3x-1)...ich verstehe einfach nicht, wie ich das ausrechnen soll. Die Lösung soll sein: f´(x)=ln(2)2^(3x-1)3 Ich verstehe den Teil nach ln(2) mit der Kettenregel...aber warum muss ich da ln(2) davor machen? Lg

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 48

Die Ableitung eines Ausdrucks mit etwas mit x im Exponenten geht wie folgt:

(b^x)'=ln(b) * b^x * x'

Im Grunde schnappst du dir den ln der Basis, multiplizierst mit der Funktion und multiplizierst die Ableitung des Exponenten noch dran.

Bespiel anhand der e-Funktion:

(e^x)'=ln(e) * e^x * x'=e^x


Bei dir also:

(2^(3x-1))'=ln(2) * 2^3x-1 * (3x-1)'=ln(2) * 2^3x-1 * 3 =2,07944 * 2^3x-1

Kommentar von ddd321 ,

Danke! Also im Prinzip immer ln(Basis) * Grund-Funktion * Ableitung Exponenten?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Schule, 10

Du kennst natürlich die Ableitungsregel (x^n)' = n * x^(n-1)

Für die Ableitung von n^x kannst du dir auch so eine Formel merken:

                                                                (n^x)' = (n^x) * ln n

Damit kannst du auch die Kurzmerkform der Kettenregel bedienen:

(n^Klammer)' = (n^Klammer) * (ln n) * (Ableitung der Klammer)

Dein Beispiel:
( 2^(3x-1))' = (2^(3x-1)) * (ln 2) * 3

Das kann man am Ende noch umsortieren.
3 ln 2 (2^(3x-1))
wenn man's so lieber hat
(ln 2 bindet stärker als Malzeichen)

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 2

f(x) = 2 ^ (3 * x - 1)

Du kannst Basen, die nicht die Exponentialfunktion sind, auf die Exponentialfunktion transformieren, das geht über den Zusammenhang -->

a ^ n = e ^ (n * ln(a))

Auf deine Funktion f(x) angewendet lautet das -->

a = 2 und n = (3 * x - 1)

f(x) = e ^ ((3 * x - 1) * ln(2))

Und diese Funktionsform ist eine der sogenannten Elementarformen, deren Ableitung man direkt im Unterricht beigebracht bekommt, es gilt -->

u(x) = e ^ (v(x))

u´(x) = v´(x) *  e ^ (v(x))

Auf deine Funktion f(x) angewendet -->

f(x) = e ^ (v(x))

v(x) = (3 * x - 1) * ln(2)

v´(x) = 3 * ln(2)

f´(x) = v´(x) *  e ^ (v(x))

f´(x) = 3 * ln(2) * e ^ ((3 * x - 1) * ln(2))

Wenn man will, dann kann man das bei deinem Beispiel wieder auf die Basis 2 zurücktransformieren, aber die e-Funktion lässt sich in der Regel bequemer berechnen, insbesondere dann, wenn man auch noch die höheren Ableitungen berechnen will.

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 19

Eine Funktion von der Form

f(x) = a^(bx+c) kann geschrieben werden als

f(x) = e^ln[ a^( bx+c ) ], denn e^ln(d) = d.

Wendet man jetzt noch das Logarithmengesetz

ln( m^n ) = n * ln( m ) an, dann erhält man

f(x) = e^[ (bx+c) * ln(a) ], also

f(x) = e^[ lna (bx+c) ].

Nun leiten wir mithilfe der Kettenregel ab:

f '(x) = e^[ lna (bx+c) ] * lna * b =

b lna a^(bx+c).

Dann ergibt sich für

f(x) = 2^(3x-1)

die erste Ableitung

f '(x) = 3 ln2 * 2^(3x-1). 

Antwort
von iokii, 23

Die ableitung von a^x ist ln(a) * a^x.

Kommentar von ddd321 ,

ja, das verstehe ich und kann ich auch mit den log-Gesetzen erklären...Jedoch kann ich es in diesem Fall, bei dem neben x auch noch anderen Zahlen im Exponenten stehen, nicht anwenden...

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