Frage von Adinym, 53

Mathe: wie geht die 2. Ableitung?

Hey ihr, Ich schreibe morgen eine Mathe-Klausur und unser Lehrer nimmt gerne Aufgaben dran in denen man eine Rechnung begründen muss... Was gibt die 2. Ableitung an? Ich hoffe ihr versteht was ich meine und könnt helfen/ergänzen: Bedingung für Nullstellen: f(x) = 0 [d.h. Y-Wert ist 0] Bed. für Extrempunkte f'(x) = 0 [d.h. Steigung ist 0] Bed. für Wendepunkte f"(x) = 0 [d.h. ? ]

Außerdem ist die hinreichende Bed. für einen Wendepunkt ja f'''(x) ungleich 0. Könntet ihr das vielleicht auch noch mal begründen? 😅

Antwort
von machengineer, 35

Genau, f'(x)=0 gibt dir die Stelle von Extremwerten an. Wenn du dann die zweite Ableitung bildest und diese Stellen einsetzt (z. B. x_max), dann kannst du daran ablesen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt:

f''(x_max)<0 --> Maximum

f''(x_max)>0 --> Minimum

Außerdem kann man durch f''(x)=0, wie du schon geschrieben hast, die Stellen von Wendepunkten bestimmen.

Kommentar von Adinym ,

Ok schon mal vielen Dank! 😅 und warum genau setzt man es = 0 ?

Kommentar von machengineer ,

Die Ableitung von etwas gibt immer die Steigung von der Funktion an, die man gerade abgeleitet hat. Wenn also die Steigung von f(x) 0 ist (was gerade f'(x)=0 entspricht), dann muss ein Extremwert vorliegen, sonst würde die Kurve ja nicht "anhalten".

Außer es ist ein Sattelpunkt, aber das ist relativ selten.

Und das Ganze gilt für jede Ableitungsstufe, also gibt z. B. f''(x) die Steigung von f'(x) an, und wenn die Steigung von f'(x) Null ist, was wiederum f''(x)=0 entspricht, dann hat eben gerade f'(x) einen Extremwert, was in der Stammfunktion, also hier f(x), einem Wendepunkt entspricht.

https://de.serlo.org/uploads/legacy/1303.png Mit dem Bild wirds dir hoffe ich klarer :) Hier sieht man f(x) und die ersten beiden Ableitungen.

Kommentar von Adinym ,

ahhh ja ok ich verstehe es jetzt 😅 Dankeschön! 😊

Antwort
von Mamuschkaa, 5

die 2. Ableitung gibt die Krümmung an.
 f"(x)=0 bedeutet, dass der Graph an diesem einen Punkt gerade aus geht.

Wenn aber f''(x)=0 und f'''(x)=0 und f⁽⁴⁾(x) ungleich 0 ist,
dann ändert die Funktion in diesem Punkt 2 mal die Krümmung,
ergo bleibt die Krümmung gleich und es ist kein Wendepunkt.

Und das geht immer so weiter:
Wenn also f''(x)=0 ist
und alle weiteren Ableitungen bis f⁽¹²⁾(x)=0 sind (12. Ableitung)
aber f⁽¹³⁾(x) ungleich 0 ist,
dann wechselt die Funktion in diesem Punkt 11 mal die Krümmung.
Dh die Krümmung ändert sich und es ist ein Wendepunkt obwohl f'''(x)=0 ist.

Es ist also immer dann ein Wendepunkt, wenn
f''(x)=0 ist und die nächste Ableitung die ungleich 0 ist eine ungerade Zahl ist.

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