Frage von Noknower, 49

[Mathe] 1*2+2*3+3*4+...+(n-1)*n. Gibt es dafür eine Formel?

Guten Tag, ich versuche gerade einen Satz zu beweisen und bin fast fertig. Wüsste irgendjemand wie man die Summ 12+23+34+45+.....+(n-1)*n beweist?

PS.: Kann mir vielleicht auch irgendjemand sagen, ob es eine Formel gibt um 2 Folgen zu multiplizieren? (Also wie oben 1 +2+ 3+ 4+ 5 ... (*) 2+3+4+5+6.... )

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 7

Es gibt dafür eine Formel.

Myrine hat schon einen entscheidenden Tipp gegeben:

1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 +.....+ (n-1)*n   =   Σ (k-1)*k   von [k=2] bis [n]

Ich würde es allerdings eher als

∑ [k = 1 ... n]  k * (k+1)

schreiben; Summen ab 1 oder 0 findet man leichter in Formelsammlungen und man spart sich die Berücksichtigung der ersten Reihenglieder.

Hier kannst du den Ausdruck "unter" (satztechnisch hinter) der Summe umstellen:

k * (k+1) = k^2 + k

Und damit die Summe anders darstellen:

∑ [k = 1 ... n] k * (k+1) = ∑ [k = 1 ... n] k^2 + ∑ [k = 1 ... n] k

Diese beiden Summen stehen in den entsprechenden Formelsammlungen.

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Du kannst auch den Ansatz von DepravedGirl verwenden.

Der Term unter der Summe ist quadratisch, damit ist die Summe ein Polynom (höchstens) 3. Grades.

Du kannst also einen Ansatz folgender Form machen:

s(n) = a3 n^3 + a2 n^2 + a1 n^1 + a0 n^0

und die a_i aus einem linearen Gleichungssystem ausrechnen. 

Oder du schreibst die Summen in die erste Spalte, die Differenzen je zweier aufeinanderfolgender Zahlen der ersten Spalte in die zweite Spalte, die Differenzen je zweier aufeinanderfolgender Zahlen der zweiten Spalte in die dritte Spalte usw.,, bis in einer Spalte nur noch Nullen auftauchen.

Dann kannst du die Koeffizienten des Polynoms vergleichsweise leicht berechnen, angefangen bei dem mit dem höchsten Index und der letzten "nichtverschwindenden" Spalte.

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Oder du schießt mit Kanonen auf Spatzen und arbeitest dich in die z-Transformation ein. Dann kannst du die Theorie der Differentialgleichungen anwenden.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 37

Achte mal drauf, dass du in einem gewöhnlichen Text vor und nach dem * besser ein Leerzeichen setzt. Das gilt auch für andere Schreiber! Glücklicherweise steht deine Kernfrage auch nochmal in der Überschrift, sonst würde man sie nicht verstehen.
Dieser Editor verwendet intern den * zur Umstellung auf kursiv.

Formeln für deine Summen sind mir gerade nicht bekannt. Und bevor ich zu suchen anfange, überlasse ich das Feld lieber jemand, der ein paar Summenformeln im Kopf hat.

Antwort
von Myrine, 20

Was genau willst du an der Summe beweisen?

1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 +.....+ (n-1)*n   =   Σ (k-1)*k   von [k=2] bis [n]
Die untere und obere Grenze in der Summenschreibweise gehören natürlich unter und über das Summenzeichen.

1+2+3+4+5... und 2+3+4+5+6... sind aber keine Folgen mehr, sondern Reihen (eine Reihe ist die Summe aller Glieder einer Folge).

Antwort
von Mathestiv, 15

http://www.zahlen-kern.de/editor/equations/867s.png

Die Formeln dafür solltest du ziemlich schnell finden.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 18

Wertetabelle -->

n | Wert

2 --> 2

3 --> 8

4 --> 20

5 --> 40

6 --> 70

7 --> 112

8 --> 168

9 --> 240

10 --> 330


Das ist 2 * ((n + 1) über 3)

(n + 1) über 3 kannst du dir mit Hilfe dieser Webseite ausrechnen lassen -->

http://www.jetzt-rechnen.de/Mathematik/Binomialkoeffizient.html#

Für n = 9, also 10 über 3 ergibt sich 120, und das mit 2 multipliziert ergibt 240.

a(n) = 2 * (n + 1)! / (((n + 1) - k)! * k!)

k = 3

! = Fakultät

Antwort
von kirbydance, 49

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig verstehe. Meinst du vllt Fakultäten?

Antwort
von kepfIe, 35

(n^3-n)/3

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