Frage von Jueli61, 41

Mathe- Ana 1--Kann mir jemand diese Aufgabe erklären ?

Hallo Leute Ich habe so meine Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe. Ich war leider krank und so konnte ich nicht zu den Vorlesungen gehen -.- Aber da das Semester neu angefangen hat (Yipi) kann und will ich die 2 Wochen aufholen... mit eurer Hilfe. :D

Könnt ihr mir die Aufgaben erklären anhand der Lösungen und wie man darauf kommt?

großes DANKESCHÖN im Voraus

LG, Juli61

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathematik, 24

Surjektiv: Für jedes y aus IR gibt es ein x aus IR, sodass y = f(x).

Injektiv: Aus f(x1)=f(x2) folgt x1=x2.

Behauptung: Die Funktion f : IR -> IR, f(x) := x³-1 ist bijektiv.

Beweis: Sei y elem IR beliebig, aber fest gewählt.

Dann gilt y = x³-1 x = ³(y+1). Zu jedem y elem IR finden wir also ein x elem IR. Somit ist f surjektiv.

Seien nun x1, x2 elem IR und es gelte f(x1)=f(x2).

Dann gilt x1³-1 = x2³-1  x1=x2. Also ist f injektiv.

Da f sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist f folglich bijektiv.

.........................

Behauptung: Die Funktion f : IR -> IR, f(x) := x²-x ist weder surjektiv, noch injektiv.

Beweis: Sei y elem IR beliebig, aber fest gewählt.

Dann gilt y = x²-x y+1/4 = (x-1/2)². Diese Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn y ≥ -1/4. Für y < -1/4 gibt es daher kein x elem IR. Also ist f nicht surjektiv.

Seien x1, x2 elem IR und es gelte f(x1)=f(x2). Dann gilt

x1²-x1 = x2²-x2 

(x1-1/2)²-1/4 = (x2-1/2)²-1/4 

(x1-1/2)² = (x2-1/2)² 

|x1-1/2| = |x2-1/2|

Fallunterscheidung:

Fall1: x1-1/2 ≥ 0 und x2-1/2 ≥ 0. Also

x1-1/2 = x2-1/2 x1=x2.

Fall2: x1-1/2 ≥ 0 und x2-1/2 ≤ 0. Also

x1-1/2 = -x2+1/2 x1 = -x2-1

Wie man erkennt folgt nur in Fall1 das Geforderte, in Fall 2 ist dies nicht der Fall. Folglich ist f nicht injektiv.

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathematik, 35

Es ist eine Funktion, wenn zu jedem x-Wert (des Def.bereichs) genau ein Fktswert

existiert. f₂ und f₄ sind keine Funktionen, weil es für x = 0 keinen Fktswert gibt.

f₁⁻¹ : ∛(x+1) . . . . f₂⁻¹ : x⁻¹. . . . f₃⁻¹ : 0,5 ± √(0,25 + x) . . . . f₄ : arc tan (x⁻¹)

b) f₁ ◦ f₂ : x⁻³ - 1   ⅅ : x ≠0      f₂ ◦ f₁ : (x³ - 1)⁻¹  ⅅ : x ≠ 1

c) 0,5 ± √(0,25 + x) für - 0,25 < x < 0

und 0,5 + √(0,25 + x) für 0 < x < 30

(aus Bequemlichkeit < statt ≤ geschrieben)


Kommentar von UlrichNagel ,

Ich hab ein kleines Problem! Funktionen mit Fehlstellen sind keine Funktionen??????????

Kommentar von kepfIe ,

In Ana lysis 1 wird das noch sehr genau genommen. 1/x ist hier nur als f:R\{0}->R\{0} eine Funktion, und cos(x)/sin(x) als g:[0,pi]->R (wenn ich das noch richtig weiß, könnte auch ]0,pi[ sein)

Kommentar von stekum ,

Wie in der Überschrift der Aufgabe steht, sind f₁ , f₂ usw. Zuordnungs-vorschriften. Es sind nur dann Funktionen auf dem angegebenen Def.bereich (also ℝ), wenn zu jedem x dort ein Fktswert existiert.

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathematik, 41

Schreib erstmal, was Du schon rauskriegst.

Kommentar von Jueli61 ,

Also bei a) soll ich ja gucken ob es von R nach R definiert ist und ich glaube dass das bei f1 und f2 zutrifft und ich glaube auch dass die 1. injektiv und surjektiv ist also bijektiv und die zweite injektiv. bei f3 und f4 wei? ich nicht weiter. und ich bin mir nicht ganz sicher aber die umkehrfunktion zu f1 wäre ja dann die 3te Wurzel x+1 und für f2 y=1/X --> X=1/y??


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