Frage von Gameboy88, 76

Mathe - Wendepunkt Bedingung (bei Funktion 3. Grades)?

Hallo!

Eine Frage zu Mathe, es geht um folgende Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat in W (2|1) einen Wendepunkt und in T (3|0) einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Die Bedingungen habe ich mir überlegt sind folgendermaßen:

(1) f(3) = 0

(2) f(1) = 2

(3) f''(1) = 0

(4) f'(3) = 0

Bei (3), welche auf den Wendepunkt bezogen ist, bin ich mir nicht sicher, ob die Bedindung wirklich so aussieht oder wie sie sonst sein soll.

Hat jemand von euch eine Idee oder weiß, was richtig und was falsch ist? Wie man den Funktionsterm danach bildet weiß ich, nur an der Stelle bin ich mir unsicher.

Vielen Dank für jede Hilfe!

Antwort
von iokii, 50

Die 2. Bedingung muss natürlich f(2)=1 heißen, dass bei einem Wendepunkt die 2. Ableitung =0 ist, ist aber richtig.

Den Funktionsterm bildest du, in dem du dir ein LGS aufstellst, mit den Variablen von ax^3+bx^2+cx+d. Du hast 4 Gleichungen und 4 Unbekannte, kannst es also lösen.

Antwort
von PhotonX, 39

Fast gut, du hast bloß die Koordinaten von W entweder in den Bedingungen oder in der Angabe verdreht.

Kommentar von Gameboy88 ,

Habs in der Angabe verdreht und nicht gemerkt, sorry :D

Kommentar von PhotonX ,

Dann passt alles!

Antwort
von gilgamesch4711, 13

Eine Steckbriefaufgabe. Ich arbeite hier nur mit Schmuddeltricks; zwei alternative Wege bieten sich an. Was euch eure Lehrer und das Internet verschweigen; Diktat für Schmierzettel und Formelsammlung.
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Sie verlaufen nämlich PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . Dann müssen aber auch die beiden Extrema Spiegel symmetrisch fallen, d.h. du bekommst die aritmetische Mittelwertbeziehung für Spickzettel und Formelsammlung

( x / y ) ( w ) = 1/2 [ ( x / y ) ( max ) + ( x / y ) ( min ) ]         ( 1 )

Damit enthält die Aufgabe eine versteckte Zusatzinfo, die so von ihren Erfindern nie beabsichtigt war; wenn zu zwei kritische Punkte hast, hast du automatisch den dritten. In unserem Falle wäre

     x ( max ) = 1                 ( 2 )

Damit haben wir aber BEIDE NULLSTELLEN DER ERSTEN ABLEITUNG IN DER TASCHE .

         f ' ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 3 ) =         ( 3a )

                   = k ( x ² - 4 x + 3 )              ( 3b )

Was bleibt zu tun? " Aufleiten " ; ===> Stammfunktion. Selbst wenn du das noch nie gemacht haben solltest - echt kein Akt.

              f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - 2 x ² + 3 x ) + C               ( 4 )

Wer in Schulaufgaben mehr wie 2 Unbeklannte investiert, lebt verkehrt. Dadurch wird ja nichts genauer; du weißt ja nie, ob dein LGS ===> schlecht konditioniert oder gar ===> linear abhängig ist. Dagegen meine beiden Unbekannten haben eine anschauliche Bedeutung: ===> Leitkoeffizient so wie ===> Integrationskonstante. Wir brauchen zwei Punkte des Grafen; nehmen wir zunächst das Minimum T , weil das eine Nullstelle gibt:

            9 k ( 1 - 2 + 1 ) + C = 0 ===> C = 0       ( 5a )

Schick; unsere Funktion verläuft durch den Ursprung. Das LGS separiert.
Jetzt schlage ich das Maximum ( 2 ) vor, weil sich mit Eins leichter rechnen lässt wie mit deinem Punkt. Wir müssen aber noch einmal spiegeln und ergänzen

             f ( max ) = 2            ( 5b )

         k ( 1/3 - 2 + 3 ) = 4/3 k = 2   ===> k = 3/2        ( 5c )

und aus ( 4 )

        f ( x ) = 1/2 x ³ - 3 x ² + 9/2 x             ( 6a )

Die Probe auf T und W habe ich eben mit dem Hornerschema sogar im Kopf gerschafft. Dann musst du noch einmal mit der Ableitung die Probe auf T mit dem Hornerschema machen. Halt Stop; für WP brauchst du KEINE 2. Ableitung; da gibt es wieder einen Schmuddeltrick. Für Spickzettel und Formelsammlung; diesmal benötigen wir die Normalform von ( 6a )

               F ( x ) = x ³ - 6 x ² + 9 x            ( 6b )

              x ( w ) = - 1/3 a2 = 2                 ( 6c ) ; Picobello fantastico

Bisher hatten wir ja " bottom up " gerechnet; also Aufleiten der ersten Ableitung. eingangs hatte ich euch eine Alternative versprochen, und die geht top - down. Ausgangspunkt wird genau Beziehung ( 6c ) ; Ehrenwort. Diesmal beschaffe ich mir keine Geheiminfos. Dein Minimum T ist immer eine gerade, hier also doppelte Nullstelle. Das gesuchte Polynom notiere ich zunächst in Normalform; dann ist aber der 3. Knoten x3 unbekannt:

       F ( x ) = ( x - 3 ) ² ( x - x3 )               ( 7a )

Da uns der WP gegeben ist, müssen wir gemäß ( 6c ) den Koeffizienten a2 bestimmen; zuständig ist der Satz von Vieta, der vielleivht für 3. Grad nicht so popolär ist wie bei quadratischen Gleichungen. Aber es ist wirklich kein Akt:

          a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = - ( 6 + x3 )            ( 7b )

    x ( w ) = - 1/3 a2 = 2 + 1/3 x3 = 2  ===> x3 = 0 ( 7c )

Dass das Ergebnis mit ( 6b ) übereinstimmt, sirhst du elementar ein. Bliebe auch hier wieder leitkoeffizient k ; welche Bedingung ist noch offen?

Antwort
von FreshD7, 14

f(2)=1 und f"(2)=0
f(3)= 0 und f'(3)=0 ist richtig

also ax^3+ bx+c=f(x) ist die Gleichung einer kubischen Funktion
Nur die 4 Bedingungen einsetzen und umformen

Kommentar von FreshD7 ,

Korrektur: ax^3 + bx^2 + cx+d = f(x)

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