Man hat 10 Kugeln, 2 schwarze, 3 blaue und 5 weiße. Man zieht 9x ohne zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte Kugel blau ist?

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2 Antworten

Hallo,

Du kannst es auch über die hypergeometrische Verteilung mit Binomialkoeffizienten berechnen.

Als 9. kann eine blaue Kugel nur dann gezogen werden, wenn bei den acht Ziehungen zuvor eine oder zwei dabei waren. (Keine geht nicht, weil nur zehn Kugeln im Spiel sind und unter den beiden letzten schlecht drei blaue dabei sein können).

Möglichkeit 1:

Es wurde eine blaue gezogen:

[(3 über 1)*(7 über 7)]/(10 über 8), also von den drei blauen war eine dabei, die restlichen sieben hatten eine andere Farbe und insgesamt wurden acht von zehn Kugeln gezogen.

Wahrscheinlichkeit: 1/15

In diesem Fall ist die neunte Kugel auf jeden Fall blau, weil nur noch blaue Kugeln übrig sind; es bleibt also bei 1/15.

Möglichkeit 2: 

Es wurden zwei blaue Kugeln gezogen.

Wahrscheinlichkeit:

[(3 über 2)*(7 über 6)]/(10 über 8)=7/15

In diesem Fall ist unter den letzten beiden Kugeln aber nur eine blaue. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese beim 9. Zug dabei ist, beträgt also 1/2 * 7/15, also 7/30

Nun beide Möglichkeiten (bzw. deren Wahrscheinlichkeiten) addieren:

2/30+7/30=9/30=3/10 oder 0,3 oder 30 %

Es ist wie beim Streichhölzer ziehen: Die Wahrscheinlichkeit, das kürzeste zu erwischen, bleibt immer gleich, egal, ob Du als erster, zweiter, dritter oder wievielter auch immer Du ziehst.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
24.11.2016, 16:52

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. Kugel blau ist.

Wenn man ohne Zurücklegen zieht, erzeugt man ja eine Permutation (Reihenfolge) der Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für alle Permutationen ist gleich groß, also auch für die jeweiligen umgekehrten Permutationen.

Du kannst natürlich auch den Baum für die 9 Ziehungen aufzeichen, das  wäre aber eine ziemliche Papier- und Zeitverschwendung.

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Kommentar von PWolff
18.11.2016, 22:22

Geht auch noch einfacher - man kann die Menge der Permutationen ja dadurch auf sich selbst abbilden, dass man immer die 1. Kugel mit z. B. der 9. vertauscht. Und dann berücksichtigt man wieder die Gleichwahrscheinlichkeit aller Permutationen. (Siehe meinen Kommentar zur Antwort von DerServerNerver)

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