Frage von Flepset, 13

Majorantenkriterium -> Wo ist der Fehler?

Nabend,

Aufgabe:

unendlich

Summe n/ (n³-2)

n=1

nun möchte ich das Majorantenkriterium anwenden. Und suche eine gleichung wo an <= bn

an= n/n³-2 <= n/n² <= 1/n

zurück in die Summe 1/n wissen wir "Die harmonische Reihe ist eine sehr wichtige Reihe, die aber nicht konvergiert: "

Aber ich bin doch jetzt davon ausgegangen das sie konvergiert denn ich sagte an < bn. Und im taschenrechner konvergiert sie auch gegen -1/3.. das verwirrt mich.

Daher die Frage: Wo ist der Fehler?

Antwort
von Muckula, 13

Hm, da hat dein Taschenrechner Mist gebaut. Wenn du da ganze Zahlen für n einsetzt, kann da niemals -1/3 rauskommen! Du betrachtest da doch Teilsummen von positiven Zahlen. Zur Divergenz siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Divergenz

Es gibt übrigens auch konvergierende harmonische Reihen, nämlich mit 1/(n^k), k > 1.

"Aber ich bin doch jetzt davon ausgegangen das sie konvergiert denn ich sagte an < bn."

Die Logik verstehe ich nicht. Bloß weil du eine Abschätzung machst, heißt das ja noch lange nicht, dass die Obere Grenze konvergiert. Du kannst ja auch 1/n < n hinschreiben und hättest gerne, dass die Reihe über n konvergiert, was sie aber trotzdem nicht tut ;)

Majorantenkriterium funktioniert nur dann, wenn deine Majorante auch konvergiert, sonst nützt dir die Abschätzung nichts!

Kommentar von Flepset ,

So Moin, nein ich hab selber mist gebaut :D.

"Hm, da hat dein Taschenrechner Mist gebaut. Wenn du da ganze Zahlen für n einsetzt, kann da niemals -1/3 rauskommen!"

Wenn du darauf hinnaus möchtest, dass die Zahl negativ ist, die Zahl ist negativ und strebt dann, wenn ich raten muss gegen 0.^^

Mein fehler war aber schon beim Gedanken von bn. Denn

an= n/n³-2 < 1/n²-2 und da 1/n² konvergiert, muss auch 1/n²-2 konvergieren (so zumindest mein Gedanke.^^).

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