Als Privatperson kannst du das auch formlos machen.

erst mal eine Rechnung schicken

Das erste würde ich machen oder mich bei einem Anwalt wenden

schreib einfach eine Beschreibung der Ware und Datum der Lieferung/Abholung und alle Daten rein, die du weisst.... wenn es keine Rechnung gibt, gibt es eben keine - da bringt auch nix nachträglich schicken!

bringt eh nix

ein bischen schlecht, wenn niergend steh, dass ihr untereinander ein kauf ausgemacht habt. um dagegen angehen zu können, hätte es schriftlich gemacht werden müssen. Sie können es versuchen nochmal eine Rechnung nachträglich mit der Mahnung zu schreiben, aber dann auch bitte Auftragsnummer oder Rechnungsnummer dabei schreiben. Aber wenn die Person dann nicht zahlt, dann muss es wohl zur Anzeige gebracht werden.

Du kannst ihn ganz formlos (per Einschreiben als Zustellnachweis) anschreiben und den offenen Betrag anmahnen. Dabei solltest Du aber unbedingt eine Frist setzen. Du kannst aber auch gleich ein gerichtliches Mahnverfahren einleiten. Dir Vordrucke (auch online ausfüllbar) findest Du im Internet.

Du lieferst von privat an privat und kassierst nicht bei Übergabe? Bissi naiv, oder? Schreib halt in die Mahnung "bezugnehmend auf die Lieferung vom (wenigstens Empfang quittieren lassen???) möchte ich Sie um umgehende Zahlung des vereinbarten Kaufpreises in Höhe von ...bitten. Ihrer Zahlung sehe ich bis... entgegen."