Frage von huntr645, 62

Lotfußpunkt - Berechnung vom Abstand eines Punktes zur Ebene, gehe ich richtig vor?

Folgender Punkt ist gegeben: P ( 6 / 14 /-12)

Sowie meine selbsterrechnete Ebene aus Aufgaben davor in Koordinatenform:

x1+2x2-5x3-6 = 0

bzw. : x1+2x2-5x3 = 6 (diese habe ich auch für die Rechnung verwendet)

Ich sollte nun den Abstand dieses Punktes zu der Ebene berechnen. Raus habe ich am Ende 34,43 LE. Kann das stimmen?

Die relativ großen Bruchzahlen während der Rechnung verunsichern mich, ich würde aber sehr gern wissen ob ich dennoch richtig liege oder ob ich nochmal rechnen muss & was ich dann eventuell falsch gemacht habe.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Hallo,

Dein Ergebnis stimmt nicht: der wirkliche Abstand ist nur halb so groß.

Du brauchst den Normalenvektor der Ebene, der einfach aus den Koeffizienten der Komponenten besteht: (1/2/-5)

Mit dem Punkt, der die Koordinaten des Stützvektors liefert, bekommst Du die Lotgerade:

(6/14/-12)+r*(1/2/-5)

Die setzt Du nun komponentenweise in die Ebenengleichung ein, also für x1 setzt Du 6+r ein, für x2 nimmst Du 14+2r, für x3 dann -12-5r

So bekommst Du die Gleichung:

6+r+28+4r+60+25r=6

Zusammenfassen:

94+30r=6

30r=-88

r=-88/30=-44/15

Das setzt Du wieder in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen, den Punkt also, der in der Ebene genau senkrecht unter P liegt:

Wenn Du diesen Punkt, nennen wir ihn Q, hast, kannst Du aus P-Q den Abstand bestimmen.

Nun kannst Du Dir Arbeit sparen.

Anstatt Q=P-44/15*(1/2/-5) zu berechnen, um anschließend wieder P abzuziehen, berechnest Du einfach nur -44/15*(1/2/-5) und daraus den Betrag.

(-44/15|-88/15|44/3)

Der Betrag daraus, und damit der gesuchte Abstand, ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate dieser drei Zahlen, wobei Du die Minuszeichen weglassen kannst, denn die Quadrate werden sowieso positiv:

Die Wurzel aus ((44/15)²+(88/15)²+(44/3)²)=16,067

Genau diesen Wert hat mein Matheprogramm auch berechnet.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von NoTrolling ,

...Und die Wahrscheinlichkeit verringert sich, dass man die falsche Komponente in den Rechner tippt... :P

Kommentar von Willy1729 ,

Eben. Deshalb prüfe ich meine Ergebnisse normalerweise nach, wenn ich's nicht gerade eilig habe.

Antwort
von NoTrolling, 29

Du musst eine Gerade durch den Punkt P konstruieren, dessen Richtungsvektor dem Normalenvektor deiner Ebene entspricht. Anschließend kannst du das Problem als Schnittaufgabe sehen.

Kommentar von huntr645 ,

das habe ich. h:x = ( 6 / 14 / - 12) + t ( 1 / 2 / - 5) dann in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt und berechnet. Dadurch ergab sich Vektor "f" und von dem hab ich den Punkt also ( 6 / 14 / -12) abgezogen und die länge berechnet. Weiß halt nur nicht ob es stimmt.

Kommentar von NoTrolling ,

Wie sieht denn dein Vektor f aus?

Kommentar von huntr645 ,

und der vektor f wäre eben = ( -44/15  / -88/15  / 44/3 ) und diese Bruchzahlen find ich merkwürdig und würd gern wissen ob es trotzdem stimmt und es einfach sein kann, dass solche Bruchzahlen vorkommen

Kommentar von NoTrolling ,

Schau dir das vielleicht nochmal an. Als Wert für t habe ich -88/30

Kommentar von NoTrolling ,

Ich habe den Wert 10,1 LE raus.

Kommentar von huntr645 ,

Was hast du denn gerechnet bzw anders gemacht?

Kommentar von NoTrolling ,

Bruchzahlen habe ich zwar dennoch, aber das stellt normalerweise kein Hindernis dar.

Kommentar von huntr645 ,

Würdest du mir die Rechnung mal zeigen? Bin meine jetzt 100x durchgegangen und werd einfach nicht schlau wo der fehler liegt :D

Kommentar von NoTrolling ,

Wenn ich die Gerade in E einsetze bekomme ich:

(6+t)+2(14+2t)-5(-12-5t)-6=0 -> t=-88/30

Kommentar von huntr645 ,

Ich habe meine Rechnung hiermit gemacht: 

x1+2x2-5x3 = 6
 Also die 6 quasi rübergezogen, weil ich das so immer in Beispielen gesehen hab 

Kommentar von NoTrolling ,

Das ändert an der Gleichung nichts ;)

Vielleicht schaust du nochmal, ob alles richtig ausgeklammert ist^^

Antwort
von Joochen, 4

Benutz den Normaleneinheitsvektor zu der Geraden in der Hesse-Normalform der Ebene.

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