Frage von kiname, 60

Lot auf eine Strecke auf einem bestimmten punkt mit einer bestimmten länge?

Hallo Community,

ich bin jetzt sein ein Paar Jahren aus der Schule und habe folgendes Problem (Siehe Bild)

Ich habe eine Strecke AB mit A (5/2) und B (4/5). Vom punkt C (X/Y) (den punkt versuche ich auszurechnen) gibt es ein Lot auf die Strecke AB am punkt B. Also hat der Winkel ABC 90°. Ich will den Punkt C so berechnen dass dass die Länge der Strecke BC eine bestimmte länge hat (z.b. AB = 1cm)

Ich habe schon ein Blatt vollgerechnet aber komm irgendwie nicht auf das Ergebnis.

Könnt ihr mir sagen welchen Rechenweg ich brauche um auf das richtige Ergebnis zu kommen?

Lg

Antwort
von daCypher, 30

Ich würde erstmal den Winkel von der Strecke AB bezogen zum Koordinatensystem ausrechnen. Also bilden wir ein imaginäres rechtwinkliges Dreieck. Von deinem Pfeil senkrecht drei Einheiten nach unten und dann waagerecht eine Einheit nach rechts. Dann kann man den Winkel berechnen (ich nenne ihn jetzt einfach mal Alpha). 

tan(alpha)=Gk/Ak=1/3 
Alpha = 18,435°

Damit kannst du jetzt die Koordinaten von C ausrechnen. Wieder ein imaginäres Rechtwinkliges Dreieck vom Pfeil nach oben und nach Rechts. Alpha ist der Winkel in der Ecke, wo C steht. Jetzt rechnen wir aus, wie weit wir nach oben müssen. 

sin(Alpha) = Gk/Hyp
Gk = sin(Alpha) * Hyp = sin(18,435°) * 1cm = 0,316cm

Und jetzt rechnen wir aus, wie weit wir nach Rechts müssen.

cos(Alpha) = Ak/Hyp
Ak = cos(Alpha) * Hyp = cos(18,435°) * 1cm = 0,949cm

Da Punkt B mit (4|5) der Bezugspunkt ist, ist C also bei (4,949 | 5,316)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Hallo,

ein Vektor, der senkrecht auf dem Verbindungsvektor der beiden Punkte liegt, bildet mit diesem ein Skalarprodukt von Null.

Der Verbindungsvektor ist (5/2)-(4/5)=(1/-3)

Es muß also gelten: (1/-3)*(x/y)=0

Außerdem soll der Vektor eine Einheit lang sein. Sein Betrag ist also 1.

Also: √(x²+y²)=1

Das Skalarprodukt zwischen dem gesuchten Vektor und dem Verbindungsvektor berechnet sich so:

x*1+y*(-3)

Dieses Produkt soll Null werden:

x-3y=0

x=3y

Einsetzen in die andere Gleichung:

√(9y²+y²)=1

√(10y²)=1

Quadrieren:

10y²=1

y²=0,1

y=√0,1

x=3√0,1

Du mußt also, um auf Punkt C zu kommen, zu Punkt B den Vektor 
(3√0,1/√0,1) addieren.

Somit sind die Koordinaten von Punkt C (4+3√0,1/5+√0,1).

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 28

Vektoren sollen es wohl nicht sein?
Bei Koordinaten bedienst du dich am besten der Zweipunkteform der Geraden.
A(x1=5 | y1=2)
B(x2=4 | y2=5)

(y-y1) / (x-x1)  = (y2-y1) / (x2-x1)

Wenn du das nach y auflöst, erhältst du eine normale Geradengleichung der Form
y = mx + b

Dazu senkrecht ist eine Gerade mit der Steigung m⊥ = - 1/m.

Meld dich mal mit einem Kommentar, wenn du die Darstellung für y hast, damit ich sehe, ob du noch interessiert bist und ich nicht ins Leere rede. Dann machen wir gemeinsam weiter.

Kommentar von kiname ,

Die Geradengleichung hatte ich schon ausgerechnet.
Ich hab da rausbekommen: y = (1/3)x + 3,66
Wie ich aber mit dem Punkt B und der Gleichung auf einen 1cm entfernten punkt komme weiß ich nicht ;)

Kommentar von Volens ,

Stimmt. Das ist die senkrechte Gerade. Ich ziehe es aus Genauigkeitsgründen vor  zu schreiben:

y = 1/3 x + 11/3

Zur Unzeit gerundete Werte bringen Ungenauigleiten in die Rechnung.

Kommen wir zum Abstand bis C:

wir haben ja ein Steigungsdreieck an der Senkrechten, das vereinfacht folgendem Verhältnis genügt.

a/b = 1/3         um die Größen x und y zu vermeiden, damit keine
                       Verwirrung eintritt.
                    Es soll aber aus dem Steigungsdreieck die Länge 1
                    hervorgehen, daher mit Pythagoras:

a² + b² = 1

Das ist ein GS mit 2 Unbekannten (kein LGS, es sind ja Quadrate drin.)

a = 1 / √10 (y-Richtung)              b = 3 / √10 (x-Richtung)

Um den Punkt auf der Geraden mit 1 cm Abstand zu finden, addiere ich a auf die x-Koordinate von B sowie b auf die y-Koordinate:

C (4,95 | 5,32)

Am Ende runde ich natürlich.

Wenn du die Rechnung mit den 2 Unbekannten nicht nachvollziehen kannst, melde dich gerne nohmal.

Antwort
von Polynomo, 21

Irgend wann wirst Du natürlich nicht umhin kommen, etwas auszurechnen.

Ich schlage vor, zunächst mal vom Punkt (4/5)  rechtwinklig weg zu gehen bis zum nächsten Punkt mit ganzzahligen Koordinaten.

Dazu die Idee : Von  A(5/2)  geht es 1 nach links und dann 3 nach oben zum Punkt  B(4/5)  , also von dort  3 nach rechts und 1 nach oben zum Punkt  ...

C(7/6)

Jetzt würde ich rechnen --> Pythagoras  , wie lang die Strecke  (BC)  ist , und wenn sie so lang ist wie Du sie brauchst, wärst Du schon fertig.

Wahrscheinlich brauchst Du sie aber nicht  3,16227766...  cm lang,  sondern ...

na ja, egal wie, Du musst sie halt entsprechend wählen und das Verhältnis bestimmen. Bei  1 cm  wäre das Verhältnis dann z.B.    1 : Wurzel 10 nach oben  und  3 : Wurzel 10 nach rechts, vom Punkt  B  aus gemessen .


Antwort
von Eklob, 24

Die Senkrechte durch B und die Waagerechte durch A ergibt einen Schnittpunkt D 4/2. AD = 3, AD = 1. Senkrecht durch C ergibt den Schnittpunkt E. Du kannst jetzt den Winkel zwischen BA  und DB über die Winkelfunktionen berechnen. Dieser Winkel entspricht dem Winkel zwischen BC und BE.

Nun kannst du  die Länge CE und CB ebenfalls über die Winkelfunktionen berechnen und damit den Punkt C bestimmen.

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