Frage von studi1800, 39

logistisches Wachstum bei Zellteilung?

Guten Abend,

Ich habe gerade nochmals eine Frage zum logistischen Wachstum. Wenn dies gegeben ist durch:

p(t) = (p1)/(1+e^(-λt)*((p1)/(p0-1)

für t>0 wobei p0<p1 und λ positive Konstanten sind und man konkretes Wachstum durch Zellteilung misst, bei der zur Startzeit 100 Zellen gemessen werden, eine Sättigung bei 4000 Zellen erreicht wird und λ=ln(2). Die Zeit t wird in Stunden gemessen.

wollte ich die konkrete Zellzahl nach einer Zeitspanne ausrechnen würde ich ja p1=4000, p0=100 und für t die verstrichene Zeit seit Messbeginn wählen - das ist klar.

Aber wenn ich eine Zellzahl habe und wissen will, nach wie viel Zeit diese erreicht wird - wie löse ich die Gleichung dann nach t? Ich habe es jetzt schon einige Male versucht, aber komme leider auf keinen grünen Zweig...

Ich bin um jede Hilfe sehr dankbar!

Antwort
von Ottavio, 27

In der Schule löst man diese Aufgabe mit einem Grafiktaschenrechner, z,B. dem TI83. Die unabhängige Variable ict t=x. Man gibt den Funktionsterm ein unter y1=, den gesuchten Funktionswert unter y2=, zeichnet die Graphen mit trace, bestimmt den Schnittpunkt mit intersect. Die Erstkoordinate ist das gesuchte x. Rechnerisch kann ich das auch nicht.

Kommentar von studi1800 ,

Danke, ich habe schon einen Grafiktaschenrechner, brauche es aber leider rechnerisch

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Ich hätte die Formel für dich umgestellt, aber leider ist deine Formel kaputt.

Du hast in deiner Formel 6 Linksklammern, aber nur 4 Rechtsklammern.

Ohne korrekte Klammerung ist eine Formel nicht eindeutig und dann ist ein umstellen nicht möglich.

Kommentar von studi1800 ,

ach herrjeh, tut mir leid und vielen Dank für die Antwort! hier nachträglich die korrekte Formel: p(t) = (p1)/(1+(e^λt)(p1/(p0-1)))

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

p(t) = (p _ 1) / (1 +(e ^ (λ * t)) * (p _ 1 / (p _ 0 - 1)))

(1 +(e ^ (λ * t)) * (p _ 1 / (p _ 0 - 1))) = p _ 1 / p(t)

(e ^ (λ * t)) * (p _ 1 / (p _ 0 - 1)) = (p _ 1 / p(t)) - 1

(e ^ (λ * t)) = ((p _ 1 / p(t)) - 1) / (p _ 1 / (p _ 0 - 1))

λ * t = ln(((p _ 1 / p(t)) - 1) / (p _ 1 / (p _ 0 - 1)))

t = ln(((p _ 1 / p(t)) - 1) / (p _ 1 / (p _ 0 - 1))) / λ

Jetzt ist deine Formel nach t umgestellt, ich hoffe das ist es was du wissen wolltest.

Probe mit zufällig ausgedachten Zahlenwerten -->

p _ 1 = 1000

p _ 0 = 2000

λ = 2

t = 5

p(t) = 0.09074622397

ln(((1000 / 0.09074622397) - 1) / (1000 / (2000 - 1))) / 2 = 5

Die Probe stimmt also, meine Formel von oben stimmt !

Kommentar von DepravedGirl ,

P.S -->

Mir ist aufgefallen, dass in deiner Frage -λ steht, aber in deinem nachträglichen Kommentar steht auf einmal λ ohne das Minuszeichen.

Sollte da -λ stehen, dann ändert sich die Formel zu -->

t = - ln(((p _ 1 / p(t)) - 1) / (p _ 1 / (p _ 0 - 1))) / λ

Antwort
von iokii, 29

Wieso kommst du auf keinen grünen Zweig?

Kommentar von studi1800 ,

weil ich wenn ich nach t auflöse eine ewig lange Gleichung bekomme, u.a. mit imaginären Zahlen und einfach das Gefühl habe da etwas falsch gemacht zu haben

Kommentar von iokii ,

Naja, einfach sieht das auch nicht aus, ewig lang sollte die Gleichung allerdings nicht werden.

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