Logarithmus ohne Taschenrecher relativ genau bestimmen?

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3 Antworten

ℓog₁₀2 = P, wobei P die eindeutige reelle Zahl ist mit 10ᴾ = 2.

Wir approximieren systematisch (folgt) P durch rationale Zahlen. Wie? Sei n∈{1;2;…}. Da 1=10⁰<10¹<10²<… eine streng steigende monoton folge ist, gilt 2ⁿ ∈ {1;2;…} = ⋃{[10ᵏ;10ᵏ⁺¹) : k∈ℕ} und damit existiert ein eindeutiges k∈ℕ, so dass 2ⁿ∈[10ᵏ; 10ᵏ⁺¹). In der Tat gilt 10ᵏ=2ᵏ5ᵏ ≠ 2ⁿ, sodass 2ⁿ ∈ (10ᵏ; 10ᵏ⁺¹). Wegen Monotonie von Potenzieren folgt daraus 10^(k/n)<10ᵖ=2<10^((k+1)/n). Wegen Monotonie von Logarithmus folgt daraus k/n<P<(k+1)/n. Somit haben wir einen Algorithmus:

  • Input: n∈{1;2;…}.
  • Finde dasjenige k∈{0;1;…} mit 2ⁿ ∈ (10ᵏ; 10ᵏ⁺¹) — welches wie oben argumentiert existiert und eindeutig ist.
  • Output: Dann gilt k/n<P<(k+1)/n.

Wenn wir aber P zu d-stellen bestimmen wollen, können wir schon mit n:=10ᵈ anfangen. Ich wähle 2-stellen:

2¹⁰⁰≈1,3·10³⁰ ∈ (10³⁰; 10³¹).
Also P∈(30/100; 31/100) = (0,30;0,31).
Also P=0,30…

Daher gilt ℓog₁₀2 ≈ 0,30. Ohne Taschenrechner kann ich persönlich nur eine Nachkommastelle von P bestimmen:

2¹⁰=1024 ∈ (10³; 10⁴).
Also P∈(3/10; 4/10) = (0,3;0,4).
Also P=0,3…

Daher gilt ℓog₁₀2 ≈ 0,3. Nicht gerade sehr effizient, aber liefert eine Einschätzung, die man im Kopf rechnen kann.

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Kommentar von kreisfoermig
26.10.2016, 11:11

Hier ein Algorithmus, nach dem man die Nachkommastellen beliebig bestimmen kann (mit nur Blatt und Papier):

  • für n=0, sei x(n) := 2.
  • für n≥0, finde dasjenige k mit x(n) ∈ [10ᵏ; 10ᵏ⁺¹) und setze k(n):=k und x(n+1) :=(x(n)/10ᵏ)¹⁰.

Dann gilt 2=x(0)=10^(k(0)+k(1)/10¹+k(2)/10²+…). Daraus ergibt sich ℓog₁₀2 = k(0) + k(1)/10¹ + k(2)/10² +… , sprich die Basis-10 Zahl mit Ziffernexpansion k(0),k(1)k(2)k(3)…

Wir führen diesen Algorithmus durch:

 n    x(n)   k(n)   x(n+1):=(x(n)/10ᵏ)¹⁰
=====================================
0 2 0 (2/10⁰)¹⁰ = 1024
1 1024 3 (1024/10³)¹⁰ ≈ 1,27
2 1,27 0 (1,27/10⁰)¹⁰ ≈ 10,72
3 10,72 1 (10,72/10¹)¹⁰ ≈ 1,995
4 1,995 0 ...

Also gilt ℓog₁₀2 = 0,3010…

Achtung: Potenzieren hoch 10 kann man wie folgt algorithmisch durchführen:

x¹⁰ = (x²)³·x²; also berechnet man x² := x·x und dann (x²)³ durch (x²·x²)·x² und setzt dann x¹⁰ := (x²)³ · x². Das sind 4 Multiplikationen insgesamt. Etwas aufwändig aber mit Blatt und Papier schon machbar.

Falls das zu Aufwändig ist (wegen der 10-er Potenzieren), kann man stattdessen sich mit der einem Ergebnis zur Basis 2 begnügen. Hier der Algorithmus:

  • für n=0, sei x(n) := 2.
  • für n≥0, finde dasjenige k mit x(n) ∈ [10ᵏ; 10ᵏ⁺¹) und setze k(n):=k und x(n+1) :=(x(n)/10ᵏ)².

Dann gilt 2=x(0)=10^(k(0)+k(1)/2¹+k(2)/2²+…). Daraus ergibt sich ℓog₁₀2 = k(0) + k(1)/2¹ + k(2)/2² +… , sprich die Basis-2 Zahl mit Ziffernexpansion k(0),k(1)k(2)k(3)…

Wir führen diesen Algorithmus durch:

 n    x(n)   k(n)   x(n+1):=(x(n)/10ᵏ)²
=====================================
0 2 0 (2/10⁰)² = 4
1 4 0 (4/10⁰)² = 16
2 16 1 (16/10¹)² = 2,56
3 2,56 0 (2,56/10⁰)² ≈ 6,55
4 6,55 0 (6,55/10⁰)² ≈ 42,95
5 42,95 1 (42,95/10¹)² ≈ 18,45
6 18,45 1 ...

Also gilt ℓog₁₀2 = 0,010011… zur Basis 2. Wenn man genügend Basis-2 Ziffern bestimmt, so kann man daraus die Ziffern der Basis-10 Expansion bestimmen.

2

Genauer geht das nicht. Du kannst das halt nur so angeben. Bin 10.

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Etwa mit 9^1/2 = 3   also log Basis 10 von 2 = ca. ,3 ? :)

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