Frage von SammyIII, 36

log[5](9)/log[5](3) =2 ... Wie rechnet man das aus. Wieso kommt da 2 raus (Mathematik)?

log[5](9)/log[5](3) =2 wie genau rechnet man das aus ?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 13

Hallo,

das kannst Du im Kopf ausrechnen:

log₅(9)=ln(9)/ln(5)

log₅(3)=ln(9)/ln(3)

Logarithmen zur Basis 5 sind weder auf Tabellen noch auf allen Taschenrechnern vorhanden, deshalb kannst Du in solchen Fällen auf vorhandene Logarithmen wie ln, den natürlichen Logarithmus zur Basis e zurückgreifen, um solche Logarithmen zu berechnen. Du teilst in diesem Fall einfach den natürlichen Logarithmus ln der Zielzahl - hier: 9 - durch den ln der Basis des gegebenen Logarithmus - hier: 5.

Das Ergebnis ist die Zahl, mit der Du in Deinem Fall 5 potenzieren mußt, um 9 zu erhalten.

So ist dann log₅(9)/log₅(3) dasselbe wie [ln(9)/ln(5)]/[ln(3)/ln(5)].

Hier multiplizierst Du mit dem Kehrwert und rechnest
[ln(9)/ln(5)]*[ln(5)/ln(3)]

Nun kannst Du ln(5) kürzen und es bleibt ln(9)/ln(3)

9 kannst Du auch als 3² schreiben, also:

ln(3²)/ln(3)

ln(3²) ist dasselbe wie 2*ln(3):

[2*ln(3)]/ln(3)=2

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 11

Da musst du nur den einfachsten Zusammenhang wissen. Aber den solltest du dir auch einprägen.

log_a(b) = x    wird gesprochen:
der Logarithmus (Hochzahl) von b zur Basis a ist x
Das ergibt diese wichtige Umformung:          a^x = b

Nun muss man noch wissen, dass bei den Logarithmengesetzen die Basis völlig unerheblich ist. Nur gleich muss sie sein. Bei log_8 oder log_3 gibt es genau dasselbe Ergebnis. Schreiben wir es also mal mit der Basis 3:

log_3(9) / log_3(3)
Wenn du es dir mit der obigen Umwandung übersetzt, ist der Exponent, den du für 9 als Ergebnis benötigst, die 2. Denn 3²   = 9
Für die 3 brauchst du 1, denn                       3^1 = 3

Und wenn du 2 durch 1 dividierst, erhältst du 2,
also log 9 / log 3 = 2

Kommentar von Willy1729 ,

Stimmt, es geht auch ohne den Umweg der Basentransformation. Die sollte man aber für andre Fälle kennen; schadet wohl nicht, wenn ich den etwas längeren Weg genommen habe.

Willy

Antwort
von Joochen, 16

Weil 9=3^2 ist und deshalb log(9) = 2 log(3) ist,

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