Frage von ehochicks, 45

Lösungsweg nicht verstanden?

Hey Leute!

Es geht um einen Lösungsweg bei einer gebrochen rationalen Funktion, den ich nicht verstnaden habe.

f(x) = (- 0,5x² + x + 2) / (x - 4)

Aufgabe:

Wo hat f den Abstand a = 0,25 von der Asymptote Ya ?

Lösungsweg:

  1. Asymptote Ya durch Polynomdivision mit f(x) bilden. Es ergibt sich ein Rest

  2. Den Rest der Division 2 mal ( +- ) mit dem Abstand a = 0,25 gleichsetzen und nach x auflösen.

  3. Es ergeben sich zwei Lösungen: x1 = -4 und x2 = 12

Ich verstehe einfach nicht, warum ich den Abstand a = 0,25 mit dem Rest der Division gleichsetzten muss. Kann mir bitte mal jemand erklären was in diesem Schritt mathematisch passiert?

Danke! :)

Im Anhang habe ich nochmal den Lösungsweg und die Graphen eingefügt.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Zwieferl, 3

So wie ich deine Fragestellung beurteile - "Wo hat f den Abstand a = 0,25 von der Asymptote Ya ?" - denke ich mir, mit "Abstand" ist die "Differenz der Funktionswerte an einer bestimmten Stelle" gemeint.

Wenn also f(x) deine Funktion ist und g(x) die nicht waagrechte Asymptote von f, dann ist " |f(x)-g(x)| = 0,25

f(x)-g(x)= -2/(x-4) → Dein Rechenweg ist also richtig (Die Polynomdivision hab ich jetzt nicht geprüft!).

Übigens: Der "Rest de Divison" ist der Abstand zwischen Asymptote und Funktion! Denk mal umgekehrt: Du zeichnest zuerst die Asymptote und "addierst" dann an jeder x-Stelle den Rest → damit erhälts du jene Punkte, die den Graph von f(x) bilden.

Kommentar von Zwieferl ,

"Danke!" für die Auszeichnungen, Frau/Herr/Woswasi ehochicks :-)

Antwort
von poseidon42, 6

Also du hast zwei Funktionen f und g, dann gilt für den Abstand d an einer Stelle x:

d(x) = |f(x) - g(x)|

Dies entspricht dem Abstand der Funktionswerte an gegebener Stelle x.

Einfaches Bsp:

f(x) = (x^2 + 2x + 2)/(x + 1) = x + 1 + 1/(x + 1)

Wir wissen nun, dass 1/(x + 1) für immer größeres x immer kleiner wird und für x gegen unendlich gegen Null strebt, betrachte dazu:

1/2 , ..., 1/10, ..., 1/10000000, ...,  1/100000000000000000, ... ---> 0

Das heißt wir können für große Werte von x schreiben:

x + 1 + 1/(x + 1) = ca. x + 1 <---- dies entspricht der Gleichung unserer Asymptote, also :

Asymptote:  g(x) = x + 1


Den Abstand d zu gegebenen x berechnen wir dann wie oben erwähnt und erhalten damit:

d(x) = |f(x) - g(x)| = |(x + 1 + R(x)) - (x + 1)| = |R(x)|

mit dem Rest R(x) = 1/(x + 1)

Wir wollen nun diejenigen x-Stellen finden an denen f und g den Abstand a haben, wir schreiben also:

d(x) = a = |R(x)| = |1/(x + 1)|

1. Fall: ( x + 1 > 0 )

--> a = 1/(x + 1)  ||*(x + 1)/a

--> x + 1 = 1/a     || -1

--> x = 1/a - 1  wobei gelten muss 1/a > 0 aufgrund der Vorraussetzung

2.Fall: ( x + 1 < 0 )

--> a = -1/(x + 1)   ||*(x + 1)/a

--> x + 1 = -1/a  || -1

--> x = -1/a - 1  wobei gelten muss  -1/a < 0 aufgrund der Vorraussetzung

Insgesamt erhalten wir in diesem Fall die beiden möglichen Lösungen:

x(1|2) = -1 +/- 1/a  mit a > 0


Die Lösung deiner Aufgabe funktioniert dabei analog zu meinem Beispiel.

Antwort
von DinoMath, 24

der Rest ist ja die Differenz zwischen der Funktion und der Asymptote (also der Teil, der im Limes gegen null geht).

Und die Differenz zwischen 2 Funktionen "könnte" als Abstand gemeint sein, wobei ich da schon finde das so zu formulieren ist mehr als Grenzwertig. Für mich hat z.B. die Funktion f(x) = x und g(x) = x+1 nicht Abstand 1 sondern Abstand Wurzel(2) also wenn man schon irgendwie den Mindestabstand zwischen 2 Funktionen definieren möchte, würde ich das nicht Punktweise machen, sondern lose im 2 dimensionalen Raum als Minimaler Abstand zweier Punkte (x1;f(x1)) und (x2;g(x2)) aber naja, das nur so am Rande^^

Kommentar von Zwieferl ,

Ist ja prinzipiell richtig, aber zwischen einer rationalen Funktion und ihrer Asymptote gibt es keine "Mindest"abstand, denn deren Abstand ist ja der Genzwert einer Nullfolge - da es aber keine kleinste Zahl gibt, die gößer als 0 ist, gibt es auch kein Minimum

Kommentar von DinoMath ,

hast Recht. Einen Abstand zweier Funktionen zu definieren, die nicht einfach |f(x)-g(x)| rechnet ist nicht so einfach.

Man könnte z.B. die Menge aller Kreise betrachten, die beide Funktionen tangieren und den Abstand Abhängig von x1 als den Durchmesser des Kreises wählen, dessen Mittelpunkt x1 als x-Kooridinate hat, nur wäre diese Funktion dann weder eindeutig definiert, noch wäre sie überall definiert.

Insgesamt ist Abstand ja eigentlich eine Metrik und merkwürdig, wenn sie immernoch von x abhängt, also dass der Abstand zweier Funktionen immernoch eine Funktion ist. Wobei irgendwo denke ich auch wie soll es anders sein?^^

Jedenfalls habe ich gerade mal nachgesehen und ein Abstandbegriff allgemein ist immer eine Funktion d: X x X -> |R
Also in der Aufgabenstellung von Abstand zu sprechen ist reichlich merkwürdig, da man sonst fragen müsste wie die metrik im Funktionenraum definiert ist.

Aber naja^^ Schulmathematik halt...

Antwort
von ehochicks, 13

Hoppla, mir fällt gerade auf, dass der Graph f(x) im Bild verkehrt ist.

So ist es richtig.

Kommentar von DinoMath ,

wenn du schon mal zeischnest, dann doch bitte auch mal Ya-0,25 und Ya+0,25, dann siehste die Schnittpunkte^^

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