lösungsmenge von x^4+3x^3=28x^2?
Hi kann mir bitte jemand erklären wie man auf die Lösungsmenge von einer solchen Gleichung kommt also wo auf beiden seiten des = Zeichens nur X Werte sind ohne eine Zahl in der kein x vorkommt. Danke für alle Antworten
4 Antworten
x ^ 4 + 3 * x ^ 3 = 28 * x ^ 2 | - 28 * x ^ 2
x ^ 4 + 3 * x ^ 3 - 28 * x ^ 2 = 0
x ^ 2 lässt sich ausklammern -->
x ^ 2 (x ^ 2 + 3 * x - 28) = 0
x * x * (x ^ 2 + 3 * x - 28) = 0
Weil irgend etwas mit Null multipliziert wieder Null ergibt, deshalb ist der gesamte Ausdruck Null, wenn einer der Terme Null ist, deshalb sind die ersten beiden Nullstellen -->
x _ 1 = 0
x _ 2 = 0
Die anderen beiden Nullstellen erhältst du indem du x ^ 2 + 3 * x - 28 = 0 setzt und ausrechnest -->
x ^ 2 + 3 * x - 28 = 0
Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.
pq - Formel -->
x _ 3, 4 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q)
p = 3
q = -28
p / 2 = 3 / 2
(p / 2) ^ 2 = (3 / 2) ^ 2 = 9 / 4
x _ 3, 4 = - (3 / 2) - / + √( 9 / 4 - (-28))
x _ 3, 4 = - (3 / 2) - / + √( 9 / 4 + 112 / 4)
x _ 3, 4 = - (3 / 2) - / + √(121 / 4)
x _ 3, 4 = - (3 / 2) - / + 11 / 2
x _ 3 = - 3 / 2 - 11 / 2 = -14 / 2 = -7
x _ 4 = - 3 / 2 + 11 / 2 = 8 / 2 = 4
x _ 3 = -7
x _ 4 = 4
Damit haben wir jetzt alle 4 Nullstellen beisammen -->
x _ 1 = 0
x _ 2 = 0
x _ 3 = -7
x _ 4 = 4
x^4+3x³=28x²
<=> x^4+3x³-28x²=0
<=> x²(x²+3x-28)=0 |-28=(-4) * 7, -4+7=3
<=>x²(x+7)(x-4)=0
<=> x=0 oder x=-7 oder x=4
bring alle x auf eine Seite und klammer soviele x aus wie geht:
x^4+3x³=28x² |-28x²
x^4+3x³-28x²=0 |x² ausklammern
x²(x²+3x-28)=0 |Produkt wird Null, wenn mindestens ein Faktor 0 ist, also
x=0 oder x²+3x-28=0 |pq-Formel und fertig
Abermals ist dieser Editor abgestürzt. Voll krank. Und die ganze Formatierung von Hand nachmachen.
Okay; gehen wir mal aus von der quadratischen Gleichung ( QG )
f ( x ) := x ² + 3 x - 28 = 0 ( 1 )
Frag mal deinen Lehrer; bei einer QG besteht ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim, das ===> Minimalpolynom ihrer Wurzeln. Oder sie zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 2a )
Schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Naa; hast du dich von deinem Schock erholt? Richtig aufregend kann Mathematik sein, sag ich dir. Die Behauptung von Wiki allerdings, ausgerechnet Gauß sei der Entdecker des SRN , ist eine mutwillige Fälschung.
1) Gauß ist doch Kult; warum hat dann dein Schrat noch nie vom SRN vernommen? ( Ich weiß; er hält ihn vor euch geheim, um euch zu prüfen. )
2) An Hand der Hausaufgaben für die Studenten erkennst du unmittelbar, welche Profs überhaupt jemals vom SRN vernommen haben, welche nur Gerüchte weise und welche gar nicht ( nämlich die Mehrheit )
3) Bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos gibt es genug User, die sind selber auch Mathelehrer. Sie alle lasen mich; ja ich wurde gar schon als " Troll des SRN " beschimpft ... Keiner von denen war bereit, seine neu erworbenen Kenntnisse an andere User weiter zu geben ( Oder sind die vielleicht doch zu blöd, auch mal selber was zu beweisen? ) ( An der Uni kriegst du häufig Aufgaben: " Beweise oder widerlege , dass XY gilt. " Von einem Mathelehrer erwarte ich, dass der Verantwortung übernimmt, ob der SRN immer wahr ist oder nie bzw. unter welchen einschränkenden Voraussetzungen. ) Ich nehme an, dass die den SRN auch gegenüber den Schülern geheim hielten - hier denen ging förmlich der Aasch mit Grundeis ... Damals, als das alles für mich noch so neu war, wusste ich natürlich noch nicht, dass diese Weisheit unter SRN firmiert. Ein Verweis auf Gauß seitens dieser Lycos Matelehrer hätte doch genügt - NICHTS .
4) WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational? Den Augenblick der Erleuchtung bezeichnet der japanische ===> Zen Buddhismus als ===> Satori . Abermals: War Gauß, waren die seither verflossenen 200 Jahre zu doof, diesen einfachsten aller Beweise zu durchschauen? Abwegig.
5) Mit meinen drei Silvestern Mensa bin ich schon ein richtiger Fachmann für Fälschungen. Die älteste Quelle, die Wiki vorlegt, stammt aus dem Jahre 2006 - dem wahrscheinlichen Entdeckungsjahr. Was du noch nicht wissen kannst; ernst zu nehmende Literatur ist alleine Artin bzw. v.d. Waerden ( 1930 ) Gleich in der Woche nachdem ich erstmals vom SRN vernommen hatte ( 2011 ) gelangen mir drei Entdeckungen ( von denen Wiki jetzt keine Ahnung hat; ich komme darauf zurück. ) Zwei von denen haben uns hier zu beschäftigen. Da sind zunächst zwei pq-Formeln; in ( 1;2a ) hast du
p1 p2 = a0 = ( - 28 ) ( 2b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 2c )
( 2c ) in Übereinstimmung mit der Ganzzahligkeits-Aussage des SRN . Du hast verstanden, dass wir sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 28 raten müssen. Nun; da gibt es die triviale Zerlegung 28 = 1 * 28 so wie die beiden nicht trivialen 28 = 2 * 14 so wie 28 = 4 * 7 . Gleich die zweite entfällt, weil nämlich x1;2 TEILER FREMD sind. Woher weiß ich jetzt das schon wieder? Machen wir erst mal fertig. Du kannst auch von der Primfaktorenzerlegung her argumentieren 28 = 2 ² * 7 Teiler fremd heißt hier, du darfst das Zweierpäckchen niemals aufschnüren. Hinreichende Bedingung - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von ( 1 )
p = x1 + x2 = ( - 3 ) ( 3a )
| x1 | = 1 ; | x2 | = 28 ; | p | = 27 ( 3b )
| x1 | = 4 ; | x2 | = 7 ; | p | = 3 ( 3c ) ; ok
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen - und fertig ist die Laube.
Wie war das jetzt mit dem ggt? Sei m ein Teiler.
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 4a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 4a ) erfüllt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 1 ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . Die Behauptung
ggt x1;2 = gkt ( f ) ( 4b )
Und abermals; " Teilerfürst " Gauß, der Teilbarkeitseigenschaften entdeckt hat, die unsereins nicht mal versteht, sollte den gkt verschlafen haben ???
Ok wenn ich den teil in der Klammer in die Mitternachtsformel Eintrag komm ich ja auf das Ergebnis.Muss ich dann bei bei x^2 1 in die Mnf eintrafen ? Weil x^2 heißt doch 1x^2 oder bin mir grad nicht mehr ganz sicher ;)