Frage von Nickel0, 22

Lösungsmenge von: ((x-2)/(|x+4|)<x+2?

Hallo, ich scheine auf dem Schlauch zu stehen und bräuchte hilfe, wenn möglich mit Rechenweg. Gesucht ist die Lösungsmenge vpn : ((x-2)/(|x+4|)<x+2

Antwort
von FuHuFu, 3

Als erstes halten wir mal fest, dass Die Definitionsmenge D = R \ {-4} ist, weil für x = -4 eine 0 im Nenner stünde

( (x -2 ) /  | x + 4 | ) < x + 2

Mit   | x + 4 |  durchmultiplizieren. Da   | x + 4 | > 0 (wegen Betrag) dreht sich das Ungleichheitszeichen dreht sich nicht um

( x - 2 ) < ( x + 2)  | x + 4 |

Fallunterscheidung:

1. Fall x + 4 > 0 , d.h. x > - 4.  
Dann ist | x + 4 | = x +4

In die Ungleichung eingesetzt:

( x - 2 ) < ( x + 2 ) ( x + 4 )

x - 2 < x² + 6 x + 8

0 < x² + 5 x -6

Satz von Vieta:

0 < ( x - 5 )( x + 1 )

Ein Produkt ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind.

Also x - 5 > 0 und x + 1 > 0      x > 5 und x  > -1    d.h. x  > 5

oder x - 5  < 0 und x + 1 <0       x < 5 und x < -1    d.h. x < - 1

Zusammen mit der Fallvoraussetzung (x > -4) ergibt sich als Lösungsmenge L1

L1 = { x ∈ R | - 4 < x < - 1 oder x > 5}

2. Fall x + 4 < 0 , d.h. x < - 4.  
Dann ist | x + 4 | = - ( x + 4 )

In die Ungleichung eingesetzt:

( x - 2 ) < - ( x + 2 ) ( x + 4 )

x - 2 < - x² - 6 x - 8

0 < - x² - 7 x - 10

0 > x² + 7 x + 10

Satz von Vieta

0 > ( x + 5 ) ( x + 2 )


Ein Produkt ist genau dannnegativ, wenn genau einer der beiden Faktoren negativ und der andere Faktor positiv ist.


Also x + 5 > 0 und x + 2 < 0      x > - 5 und x  > - 2    d.h. x  >  -2

oder x + 5  < 0 und x + 2 > 0       x < - 5 und x > - 2    d.h. nicht möglich

Zusammen mit der Fallvoraussetzung (x < - 4) ergibt sich als Lösungsmenge L2

L2 = { }


Als Gesamtlösungsmenge ergibt sich

L = L1 ∪ L2 = { x ∈ R | - 4 < x < - 1 oder x > 5}

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 1

Zuerst würde ich den Betrag lösen (Fallunterscheidung) und das Ganze als Gleichung lösen.

1. (x-2)/(x+4)=x+2 und x+4>0, also x>-4  (=0 "scheidet aus" (Nenner))
2. (x-2)/(-(x+4)=x+2 und x+4<0, also x<-4

1. x-2=x²+6x+8
    x²+5x+10=0
    x=-2,5+-Wurzel(6,25-10)    (Wurzel<0, also Fall 1 hat keine Lösung)

2. -x+2>x²+6x+8
     x²+7x+6<0
     x=-3,5+-Wurzel(49/4-6)=-3,5+-Wurzel(25/4)=-3,5+-2,5
     x1=-6; x2=-1 und x<-4, d. h. x2 fällt auch weg.

Einzige Lösung der Gleichung ist x=-6.

Da es sich aber um eine Ungleichung handelt, musst Du die Lösungen x>-6 und x<-6 prüfen:

Setze einen Wert innerhalb der möglichen Lösungen ein und prüfe das Ergebnis auf Richtigkeit:

x<-6 prüfen mit z. B. x=-7 => -9/|-3|<-5 => -9/3<-5 => -3<-5 falsche Aussage
x>-6 prüfen mit z. B. x=0 => -2/4<2 => -1/2<2
=> die Lösung lautet x>-6 und x<>-4

Ist vielleicht nicht die eleganteste Vorgehensweise, aber sie führt zum Ziel...
(das Problem ist bei quadr. Ungleichungen immer, das Ungleichheitszeichen richtig zu setzen)

Antwort
von NoTrolling, 8

Fallunterscheidung:

Fall 1 x+4>=0   ->   x € [-4;inf[

(x-2)/(x+4)<x+2

x-2<(x+2)(x+4)

x-2<x^2+6x+8

0<x^2+5x+10 -> nach oben geöffnet -> L=IR\[x1;x2] ∩ [-4;inf[

x1,2=(-5+-sqrt(25-40))/2  -> Keine Lösung

L=IR ∩ [-4;inf[ = [-4;inf[


Fall 2 x+4<0  ->  x € ]-inf;-4[

(x-2)/(-x-4)<x+2

Diesen Fall kannst du ja mal selbst probieren. Vielleicht hilft es dir, wenn du eine Skizze machst, um die Lösungsmenge der Ungleichung zu bestimmen.

Kommentar von NoTrolling ,

Im Allgemeinen musst du für den Fall, das was im Betrag steht kleiner als Null wird, den Betrag negieren.

Bsp:  |x+1|-5=6

Fall 1 x+1>=0

x+1-5=6

Fall 2 x+1<0

-(x+1)-5=6

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