Frage von servas, 73

Lösungsmenge durch quadr. Ergänzen?

u^2+3u+2=0

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Wenn in der Schule quadratisches Ergänzen gefordert wird, muss man auch quadratisches Ergänzen durchführen. Sonst bekommt man bekanntlich Ärger. Und selbst wenn man für Nullstellen die einmalige Ergänzung (mit p und q) schon kennt, gibt es eben gelegentlich auch noch den Bedarf für die quadr. Ergänzung.

Die wichtigsten Wörter für dich sind: Halbieren, Quadrieren.

Das passiert nämlich mit der Zahl vor dem x.
Am besten baut man sich seine Gleichung mit Lücken auf und füllt diese dann aus:

(u² + 3u +       )         + 2  = 0

Halbieren, Quadrieren heißt jetzt: du nimmst die 3 vor dem x, halbierst sie auf 1,5 mit ² dahinter und schreibst den Term in die Lücke vor dem Klammerende.

(u² + 3u + 1,5²)         + 2  = 0

Nun hast du die Gleichung "gestört". Damit sie stimmt, muss der gleiche Wert hinter der Klammer wieder abgezogen werden - am besten ausgerechnet.

(u² + 3u + 1,5²) - 2,25 + 2  = 0     In der Klammer steht jetzt ein binomischer Term.

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

Es fehlt jetzt das Ausrechnen.

(u + 1,5)² - 0,25 = 0                | +0,25
(u + 1,5)²           = 0,25           | √
     u + 1,5         =  ± 0,5          | -0,5
                  u     =  - 1,5 ± 0,5

                 u₁    = - 2
                 u₂    = - 1

IL = { -2 | -1 }

Die letzten Rechengänge sind dir wohl bekannt. Deshalb habe ich sie nicht mehr kommentiert.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

Hallo,

bei solchen Gleichungen kannst Du die Lösung manchmal sofort sehen, ohne irgendeine große Berechnung anzustellen.

Wenn Du zwei Zahlen findest, die miteinander multipliziert die Zahl ohne u ergeben und miteinander addiert die Zahl vor dem u, kannst Du die Gleichung umformen.

Betrachte die 2: 2 ist gleich 1*2. 1+2 ergibt 3, die Zahl vor dem u.

Nun kannst Du die Gleichung umformen in (u+1)*(u+2)=0. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn die erste oder die zweite Klammer gleich Null wird,
also bei u=-1 oder u=-2.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von servas ,

Und wie würde das gehen, wenn man die lösungsmenge mithilfe des quadratischen ergänzen lösen muss?

Kommentar von Willy1729 ,

(u²+3u+2,25)-2,25+2=0

(u+1,5)²-0,25=0

(u+1,5)²=0,25

u+1,5=√0,25=+/-0,5

u=0,5-1,5=-1

u=-0,5-1+5=-2

Der Gedanke bei der quadratischen Ergänzung besteht darin, einen Teil der Gleichung in ein Binom umzuwandeln, indem Du die Zahl vor der Variablen zunächst halbierst und dann quadrierst.

Nach der ersten binomischen Formel ergibt (a+b)²=a²+2ab+b² oder in Deinem Fall: (u+b)²=u²+2ub+b².

Diese Formel liegt aber nicht vollständig vor. Was Du hast, sind nur die beiden ersten Glieder: u²+2ub, wobei das u schon da steht und das 2b der 3 entspricht. Bei Dir steht ja u²+3u. Dann muß 3=2b sein.

Wenn Du 2b erst halbierst: b, und dann quadrierst, kommst Du auf b², also auf den Rest des Binoms.

Da die 3 in Deiner Gleichung diesem 2b entspricht, halbierst Du auch die 3: 1,5, und quadrierst sie anschließend: 2,25.

Nun steht da u²+3u+2,25, was ein vollständiges Binom ist und in 
(u+1,5)² umgewandelt werden kann. Die 1,5 entspricht dem b in der binomischen Formel.

Da Du aber nicht einfach eine Zahl in einer Gleichung ergänzen kannst, wie Du es mit der 2,25 getan hast, mußt Du diese Zahl gleich wieder abziehen, damit die Gleichung insgesamt unverändert bleibt.

So bekommst Du die Gleichung (u+1,5)²-2,25+2=0

Du faßt die beiden Zahlen außerhalb der Klammer zusammen zu -0,25 und bringst sie auf die andere Seite.

So kommst Du auf (u+1,5)²=0,25

Wenn Du nun auf beiden Seiten die Wurzel ziehst, bleibt links
u+1,5 stehen, während rechts aus der 0,25 einmal 0,5 und einmal
-0,5 wird, denn eine positive Zahl außer Null hat zwei Wurzeln, eine positive und eine negative.

So kommst Du auf die beiden Lösungen für u.

Die pq-Formel läßt sich übrigens über die quadratische Ergänzung herleiten.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

Da braucht man kein quadratisches Ergänzen.

Das ist Futter für die pq-Formel.

Die pq-Formel wird auf die Form u ^ 2 + p * u + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

u _ 1, 2 = - (p / 2) ∓ √( (p / 2) ^ 2 – q )

u ^ 2 + 3 * u + 2 = 0

p = 3

q = 2 = 8 / 4

p / 2 = 3 / 2

(p / 2) ^ 2 = 9 / 4

u _ 1, 2 = - (3 / 2) ∓ √(9 / 4 – 8 / 4)

u _ 1, 2 = - 3 / 2 ∓ √(1 / 4)

u _ 1, 2 = - 3 / 2 ∓ 1 / 2

u _ 1 = - 4 / 2 = - 2

u _ 2 = - 2 / 2 = - 1

Antwort
von Math14, 23

Müsst ihr die quadratische Ergänzung anwenden? Empfehle lieber die pq-Formel.


L { -1; -2}

Kommentar von servas ,

Die Angabe besagt, dass ich die Lösungsmenge über R durch quadratisches Ergänze  ermitteln soll.

Lg

Kommentar von Math14 ,

Dann empfehle ich dir das Video. Allgemein kannst du bei ihm alles über Mathematik lernen bis zum Abi :)

Und das noch schnell und verständlich erklärt.


https://www.youtube.com/watch?v=JLADCKXbeNE

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