Frage von aseretheik, 52

Lösung gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Hallo!

Mir ist in einer Probeklausur eine ähnliche Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben, nur dass ich keine Werte für die einzelnen x und y habe sondern nur die Randverteilungen, anhand dieser muss ich die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Mir ist klar dass ich die einzelnen x und y zusammenzählen muss für die Randverteilungen.

Wie soll das gehen wenn ich aber nur keine anderen Werte gegeben habe?
Das Bild dient nur der Veranschaulichung.

Schonmal vielen lieben Dank!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kreisfoermig, 27

Ich betrachte das diskrete Problem. Es sei X, Y diskrete ZV mit jeweils endlich vielen Werten. Seien

A[i,j] := ℙ[X=i | Y=j]
B[j,i] := ℙ[Y=j | X=i]
x[i] := ℙ[X=i]
y[j] := ℙ[Y=j]
C[i,j] := ℙ[X=i & Y=j]

für alle i, j. Bekannt sind die Matrizen A, B. Es ist die Matrix C zu bestimmen. Es gilt nun (¶):

C[i,j] = ℙ[X=i | Y=j]·ℙ[Y=j] = A[i,j]·y[j]  und
C[i,j] = ℙ[Y=j | X=i]·ℙ[X=i] = B[j,i]·x[i]

für alle i, j. Es bleibt also nur, die Vektoren x und y zu bestimmen. Man beobachte:

x[i] = ℙ[X=i]
= ∑ ℙ[X=i | Y=j]·ℙ[Y=j] Summe über alle j
= ∑ A[i,j]·y[j] Summe über alle j
= (Ay)[i]
y[j] = ℙ[Y=j]
= ∑ ℙ[Y=j | X=i]·ℙ[X=i] Summe über alle i
= ∑ B[j,i]·x[i] Summe über alle i
= (Bx)[j]

In Matrixschreibweise:

x=Ay und y=Bx.

Daraus lässt sich erschließen

x = A(Bx) = ABx, also (AB-I)x=0
y = B(Ay) = BAy, also (BA-I)y=0

Daher sind die Lösungen zu den absoluten einseitigen Verteilungen von X bzw. Y gegeben durch Nullvektoren von AB–I bzw. BA–I. Es ist einfach zu beweisen, dass es für beide Matrizen mindestens einen Nullvektor gibt und damit unendlich viele davon. Wir suchen aber Vektoren, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bilden, somit darf der Vektor nur Komponenten aus [0, 1] besitzen, deren Summe 1 ergibt. Dies führt dazu, dass nur weniger Lösung in Betracht kommen. (Es bleibt dennoch festzustellen, ob es exakt eine Lösung gibt.)

Damit habe ich eine Methode, die absolute Verteilungen von den Zufallsvariablen, X und Y, zu bestimmen und somit (siehe ¶) die gemeinsame Verteilung der Variablen.

Ich bräuchte ein Bsp. mit Zahlen, um dies zu demonstrieren…

Kommentar von aseretheik ,

Danke für die schnelle Antwort.

Also für ein Zahlenbeispiel, war die Tabelle in der Aufgabe so gegeben:

für Y:    0      1      2        3

py(Y): 0.2   0.5   0.15   0.15

für X:      0      1       2

px(X):   0.3    0.4    0.3

daraus kann man die Randverteilungen ja berechnen.

Kommentar von kreisfoermig ,

Daraus kann man die Randverteilung nicht berechnen. Dieses Problem ist ein anderes.

Du kannst aus diesen absoluten Verteilungen von X bzw. Y leider nichts über Randverteilungen / die gemeinsame Verteilung erschließen.

Wenn du zusätzliche Kenntnisse hättest wie, dass X und Y unabhängig seien, dann könntest du evtl. die gemeinsame Verteilung bestimmen, z. B. im Falle der Unabhängigkeit ℙ[X=i & Y=j] = ℙ[X=i]·ℙ[Y=j]. Ansonsten sagen diese Daten nichts aus.

Kommentar von aseretheik ,

Oh sorry, die beiden Variablen sind unabhängig!

Kommentar von kreisfoermig ,

ja, dann ist deine Aufgabe trivial ; ) einfach Produkte berechnen:


ℙ[X=x & Y=y]
-------------------------------
x \ y | 0 1 2 3
-------------------------------
0 | 0,3·0,2
| =0,06 . . .
1 | 0,4·0,2
| =0,08 . . .
2 | 0,3·0,2
| =0,06 . . .

usw. P. S: Kleinschreibung für konkrete Werte (x,y,i,j, …) und Großschreibung für die Zufallsvariable (X,Y, U, V, …), außer evtl. für griechische Buchstaben.

Kommentar von kreisfoermig ,

Daraus kann man die Randverteilung nicht berechnen. Dieses Problem ist ein anderes.

Antwort
von kreisfoermig, 12

P. S: Die im Bild dargestellte Information (ich füge ein ergänztes Bild bei) lässt keine klare Aussage zu. Im Grunde (das kann man überprüfen) passt jede Verteilung von Y dazu. Es gibt also einen unendlichen (2-dimensionalen) Raum von gemeinsamen W-keitsverteilungen in diesem Beispiel.

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