Frage von SchmandDiesDas, 27

Wie ist die Lösung folgender Betrags-Ungleichung (Klausur)?

Die Gleichung lautet: | x + 2 | durch (x^2 - 9) soll größer 1 sein.

Welche Lösung kommt da raus? Hatte die Aufgabe vor kurzem in einer Klausur. Am besten mit Fallunterscheidung.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 27

Hallo,

da ein Betrag im Spiel ist, brauchst Du eine Fallunterscheidung:

|x+2|=x+2, wenn x≥-2; und -(x+2), wenn x<-2.

Zunächst Fall 1: x≥-2

(x+2)/(x²-9) wird nur dann >1, wenn (x+2)>(x²-9)

Wenn Du alles auf eine Seite bringst, bekommst Du:

x²-x-11<0 (Ich habe zunächst alles nach rechts gebracht und dann die Ungleichung einfach umgedreht, wobei aus dem > ein < wird.)

Um herauszufinden, für welche x dies gilt, setzen wir die Gleichung zunächst auf Null und lösen sie mit der pq-Formel:

x²-x-11=0 

Du erhältst zwei Lösungen: x=3,854 oder x=-2,854 (gerundet).

Die zweite Lösung scheidet aus, weil wir hier nur x≥-2 betrachten.

Auf jeden Fall wissen wir jetzt, daß die Kurve für alle x zwischen -2 und 3,854 auf einer Seite der x-Achse verläuft; erst bei der Nullstelle wird die Seite gewechselt.

Auf welcher verläuft sie? Dazu gibst Du einfach einen Wert zwischen -2 und 3,854 ein, am einfachsten x=0. Für x=0 wird die Sache negativ, weil nur -11 übrigbleibt - Du bewegst Dich hier also unterhalb der x-Achse, was für die eigentliche Aufgabe bedeutet, daß für alle x zwischen -2 und 3,854 
(x+2)/(x²-9) >1 wird (das sollte ja eigentlich berechnet werden).

Damit ist Fall 1 abgeschlossen.

Für alle x<-2 lautet die Gleichung (-x-2)/(x²-9)>1

Also muß (-x-2)>(x²-9) sein.

Du bringst wieder alles auf eine Seite:

x²+x+11<0 und suchst eventuelle Nullstellen:

x²+x+11=0

Hier wirst Du im Raum der reellen Zahlen keine finden, somit hat die Ungleichung für x<-2 keine Lösung.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Polynomo ,

Gibt es jetzt Deiner Meinung nach eine Lösungsmenge oder nicht  ??

Und wenn ja, dann welche ??

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe noch etwas vergessen:

Das Ding wird natürlich auch bei ungleichen Vorzeichen <1.

Dann mußt Du noch die Nullstellen von (x²-9) berechnen, also x=-3 oder x=3. Innerhalb dieses Intervalls wird der Ausdruck negativ.

Da |x+2| wegen des Betrags immer positiv bleibt, kommt dieser Bereich für x also nicht in Frage.

Dann bleibt letztlich nur noch das offene Intervall von x=3 bis x=3,854 übrig, für das die Aussage wahr ist.

Kommentar von Polynomo ,

Jetzt hat sich meine Nachfrage "fast" erledigt !

Kommentar von Willy1729 ,

Hättest Du mal weiter nachgebohrt:

Der Graph verläuft auch auf der anderen Seite ein kleines Stück oberhalb von y=1, nämlich für -3,193<x<-3.

Ich hatte die Ungleichung für Fall 2 falsch aufgestellt:

-x-2>x²-9

x²+x-7<0

Dann bekommst Du für x<-2 noch die Nullstelle -3,193.

Da nur ein Bereich außerhalb des Intervalls -3;3 für die Lösungsmenge in Frage kommt, gehört das Intervall zwischen
-3,193 und -3 auch noch dazu.

L ist also gleich {x|-3,193<x<-3 v 3<x<3,854}

Willy

Kommentar von Polynomo ,

Bei Dir muss ich ja nicht bohren, Du erledigst das ja auch so, s.o.

Gruß Polynomo

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 22

(I)  |x+2| > x²-9     und x²-9>0, also x>3 oder x<-3
(II) |x+2| < x²-9     und x²-9<0 => keine Lösung da "positiv" < "negativ"

weiter mit (I)
(I')    x+2 > x²-9      und x+2>0 => x>-2
(I'')-(x+2) > x²-9  und -(x+2)>0 => x<-2

(I')    x²-x-11<0      x>3    (x<-3 fällt weg, da x>-2 sein muss)
(I'')   x²+x-7<0       x<-3

(I')  x²-x-11=0
      x=1/2+-Wurzel(1/4+11)=1/2+-3,35
      x1=-2,85; x2=3,85   (x1 fällt weg, da x>3 sein muss)

(I'')  x²+x-7=0
       x=-1/2+-Wurzel(1/4+7)=-1/2+-2,69
       x3=-3,19; x4=2,19     (x4 fällt weg, da x<-3 sein muss)

Lösungsintervalle:

(I') x²-x-11<0     (Lösung x2=3,85) => x<3,85 und x>3 (Bedingung)
=> L1=]3;3,85[

(I'') x²+x-7<0   (Lösung x3=-3,19) => x²+x-7>0 => x>-3,19 und x<-3
=> L2=]-3,19;-3[

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 12

Hallo,

hier noch ein Bild vom Verlauf der Funktion.

Asymptoten mit Vorzeichenwechsel liegen bei x=-3 und x=3

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Waldemar2, 21

Du musst die Fälle x > -2 und x < -2 unterscheiden und in diesen die Betragsstriche auflösen.

Kommentar von Polynomo ,

Ich sehe das ein wenig einfacher, weil ja durch das Quadrat im Nenner das Vorzeichen von  x  unerheblich ist.

Also muss man

1.  darauf achten, dass der Quotient  nicht negativ wird, also  x² > 9  wird, und erst

2. dass der Quotient auch größer wird als  1

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