Lösung dieser DGL 2. Ordnung?

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5 Antworten

Es gibt schon eine Lösung:

Als Ansatz wählt man y(x) = e^(t • x)

Durch einsetzen in die DGL und anschließendes Ausklammern des Faktors e^(t • x) erhält man: e^(t • x) • (t² + 2t + 3) = 0.

Das quadratische Polynom kann hat 2 komplexe Nullstellen, die man mit der Mitternachtsformel/pq-Formel bestimmen kann: t = -1 ± √-2 = -1 ± i • √2 .

Durch Einsetzten dieser komplexen Nullstellen in unseren Ansatz erhält man die Funktionen y1(x) = e^(-1 + i • √2)x und y2(x) = e^(-1 - i • √2)x . Beziehungsweise nach Anwenden der Funktionalgleichung: y1(x) = (1/e) • e^(i • √2)x und y2(x) = (1/e) • e^-(i • √2)x . Durch Anwenden der Euler-Gleichung (e^ix = cos(x) + i • sin(x)) erhält man: y1(x) = (1/e) • (cos(x • √2) + i • sin(x • √2)) und y2(x) = (1/e) • (cos(x • √2) - i • sin(x • √2)). Durch bestimmen der Real- sowie Imaginärteile der Funktionen (Re(y(x) und Im(y(x)), liefern die beiden Funktionen y1(x) und y2(x) 2 verschiedene Ausdrücke, die such nur um Konstante Faktoren unterscheiden: c1 • cos(x • √2) und c2 • sin(x • √2). Durch Linearkombination bekommt man die allgemeine Lösung der obigen DGL, die dann lautet:

y(x) = c1 • cos(x • √2) + c2 • sin(x • √2)

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Kommentar von paullikethis
12.07.2016, 14:01

ah okay als weiterzurechnender Ansatz nehme ich deine unten genannte Formel. Das ist ja eine ganze Ecke schwieriger nachzuvolziehen, als wenn die Diskriminante positiv wäre. Vielen Dank

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Ganz allgemein, wenn du eine negative Zahl unter der Wurzel hast (konplexe Lösung):
Angenommen deine charakteristische Gleichung hat eine Lösung der Form q = σ± iτ . Dann wähle man den Ansatz (für die homogene Lösung):

e^(σx)*(P(x) * cos(τx) + Q(x) * sin(τx))

Wobei P und Q Polynome vom Grad k-1 sind, wenn k die Vielfachheit der Lösung ist.

Lg

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siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentialgleichungen"

Dies ist eine "homogene lineare Dgl 2.ter Ordnung

allgemeine Form a *y´´+b *y´ + c *y=0

lösung : r 1,2= - b/2 *a +/- Wurzel ( (b^2/ 4 *a^2) - c/a))

Fall 1 : r1 ungleich r2 also 2 reelle Lösungen ergibt die allgemeine Lösung für diesen Fall

y = C1 e^(r1 *x) + C2 * e^(r2 *x) Die Koeffizienten müssen über die Rahmenbedingungen ermittelt werden.

2. fall : r1=r2 =r also doppelte "Nullstelle"

Lösung ist : y= r * e^(r *x) * (C1 *x +C2)

3. Fall : r 1,2 = a +/- j b also 2 konjugiert Komplexe Lösungen

Lösung : y= e^( (a) * x)  *( C1 *cos((b) * x) + c2 * sin((b) *x)

Beispiel : y``+2 *y´+5 *y= 0 Nullstellen bei r 1,2= - 1 + /- j *2

eingesetzt : y= e^(-x) * (C1 * cos(2 *x) + c2 *sin(2 *x)

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bei einem negativen wurzelwert hat die gleichung keine lösung

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Kommentar von ELLo1997
12.07.2016, 15:52

In den komplexen Zahlen schon.

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3 Fälle für die Diskriminante (das ist die Wurzel in der Fachsprache):

1. positiv, dann gibt es genau zwei Lösungen

2. 0, dann gibt es genau eine Lösung

3. negativ, dann ist die Lösungsmenge leer, also L = { }

du solltest bevor du die Mitternachtsformel anwendest außerdem korrekt kürzen (was du anscheinend gemacht hast).

3. Fall tritt ein, btw

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Kommentar von ELLo1997
12.07.2016, 15:51

Das gilt aber nur, wenn du als Grundmenge die reellen Zahlen nimmst. Bei Differentialgleichungen spielen auch komplexe Lösungen eine Rolle.

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