Frage von Marcel202020, 46

Lösen einer Matrixgleichung, kann mir jemand helfen?

Hallo Leute,

Ich habe da ein kleines Verständnisproblem bei einer Matrixgleichung.

Gleichung lautet: AX+B=C

Matrizen: (Hab leider keine Ahnung wie ich hier eine Matrix in Tabellenform hinbekomme also muss ich das umständlich machen)

A:

1 2

3 4

B:

2 -3

-1 5

C:

1 4

5 1

Hab die Inverse von A gebildet:

4 -2

-3 1

Gleichung umgeformt nach X = InvA * (C-B)

Ausgerechnet und erhalte als Ergebnis:

-16 36

9 -25

Die Lösung die um Buch steht lautet aber:

8 -18

-4.5 12.5

Ist irgendwie meine Lösung nur halbiert und mit umgekehrten Vorzeichen. Hab ich irgendwas falsch gemacht, oder ist das irgendwie eine Vereinfachung?

Lg, Marcel

Antwort
von Kesselwagen, 24

Hallo Marcel,

bei der Inversen komme ich auf:

         | -2     1  |
A^(-1) = | 3/2  -1/2 |

Bzw. das sagt mein Taschenrechner. Wenn ich A * A^(-1) rechne, komme ich auch auf die Einheitsmatrix. Hast Du die Inverse mithilfe von [A | I] -> [ I | A^(-1)] bestimmt?

Wenn ich jetzt Deine Zahlen per Hand ausrechne mit Deinen Zahlen für Matrix B und C komme ich aber auf

|-8     18  |
|4.5 -12.5 |

Kann es vllt. sein, dass irgendein Vorzeichen Deiner B/C Matrix anders ist als angegeben?

---

Hoffe, dass ich Dir helfen konnte. Bei Fragen melde Dich!

LG. Kesselwagen

Kommentar von Marcel202020 ,

Aha, hab jetzt gerade Meine Inverse mit A multipliziert um zu sehen ob die Einheitsmatrix rauskommt (hätt ich schon viel früher machen sollen) und stimmt, die kommt nicht raus.

Dabei steht in meinem Buch drinnen, dass man bei 2x2 Matrizen einfach die Diagonale vertauschen und die Vorzeichen vom Rest ändern soll um die Inverse zu bilden. Ist das jetzt falsch? Wie bilde ich die Inverse dann richtig?

Hab alles nochmal überprüft, die Vorzeichen stimmen eigentlich alle, keine Ahnung wo da der Fehler liegt

Kommentar von Kesselwagen ,

Aha... habe ich nie so gelernt... :S Bei ner orthogonalen Matrix ist die Inverse gleich der transponierten Matrix; bei allen anderen invertiert man die Matrix mit Gauß - so hab ich das gelernt.

Also beim Invertieren legst Du Dir die Matrix A auf die eine Seite und die Einheitsmatrix auf die andere Seite ("Koeffizientenmatrix"), und formst um so dass Du von [A | I] auf [ I | A^(-1)], um die Inverse direkt abzulesen.

| 1 2 | 1 0 |    Gauß    | 1 0 | -2     1  |
| 3 4 | 0 1 |    ---->   | 0 1 | 3/2  -1/2 |
Hier meine Rechnung:
A^(-1) * (B-C)

  | -2    1  |   | 1  -7 |   | -8    18  |
= | 3/2 -1/2 | * | -6  4 | = | 4.5 -12.5 |

Hm... mehr weiß ich jetzt auch nicht wieso ich nicht auf die Lösung komme

Kommentar von Marcel202020 ,

Okay, danke. Die Methode werd ich ab jetzt anwenden, auf das mit der vertauschten Diagonale verlass ich mich nicht mehr.
Ist komisch, dass das einfach so in meinem Buch drinnen steht.

Danke jedenfalls für die Antwort!

Kommentar von Kesselwagen ,

Super, kein Ding.

Dann invertier mal mit Gauß, viel Erfolg. Wenn Deine Vorzeichen alle korrekt sind, kommst Du auch auf das Ergebnis im Buch.

Kommentar von Kesselwagen ,

Hoffentlich habe ich keine gravierende Fehler gemacht. WolframAlpha sagt genau das was auch im Buch steht:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,2%7D,%7B3,4%7D%7D*%7B%7Ba,b%7D,%7Bc,d%7D%7D+%2B+%7B%7B2,-3%7D,%7B-1,5%7D%7D+%3D+%7B%7B1,4%7D,%7B5,1%7D%7D

Kommentar von Kesselwagen ,

Oops ich sehe dass ich mich beim Vorzeichen vertan habe: Für C - B kommt genau das mit verdrehtem Vorzeichen raus was ich gerechnet habe 😅

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