Frage von gamefreak96, 62

Lineares Gleichungssytsem aus Punkten?

Hi, ich schreibe demnächst meine Matheabschlussarbeit, bin aber echt einfach nur grotten schlecht in Mathe und brauche Hilfe.

Wir haben eine Aufgabe, die lautet:

Eine Funktion 3. Ordnung hat in PH(2/0) einen Hochpunkt, bei PW(1/?) einen Wendepunkt sowie einen y-Achsenabschnitt von y=-2/3

Nun soll man ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung f(x) auftellen, welche lautet: f(x)=-1/6x^3 + 1/2x^2 - 2/3 und anschließend die Nullstellen berechnen. Da muss man ja nur ableiten. Aber wie stelle ich das System auf?

Danke im voraus :)

Antwort
von Aleksakisu, 18

Du hast eine Funktion dritter Ordnung. Sie sieht also so aus:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f´(x)=3ax^2+2bx+c

f´´(x)=6ax+2b

Deine Aufgabe ist es nun, herauszufinden, was a, b, c und d sind. Dazu benutzt du die Angaben:

Die Funktion geht durch den Punkt (2I0), also ist f(2)=0

Die Funktion hat bei x=2 einen Hochpunkt, also ist f´(2)=0

Die Funktion hat bei x=1 einen Wendepunkt, also ist f´´(1)=0

Die Funktion hat einen y-Achsenabschnitt bei y=-2/3, also ist f(0)=-2/3

Diese Angaben setzt du in die Funktion von oben beziehungsweise ihre Ableitungen ein.

0=a*2^3+b*2^2+c*2+d, also 8a+4b+2c+d=0

0=3a*2^2+2b*2+c, also 12a+4b+c=0

0=6a*1+2b, also 6a+2b=0

-2/3=a*0^3+b*0^2+c*0+d, also d=-2/3

Wenn du die so gefundenen Formeln miteinander kombinierst und ausrechnest, kommst du auf die Werte für a, b, c und d und kannst sie einfach in die Funktion von oben einsetzen.

Ich hoffe, das hilft dir weiter. Wenn du einen Schritt nicht verstehst oder etwas genauer wissen willst, frag ruhig nochmal nach :)

Kommentar von gamefreak96 ,

OK, das habe ich schon mal verstanden. Ich nehme die klassische Gleichung für die dritte Ordnung, leite sie ab und setze die Werte ein. Woher weißt du Punkt f(2/0)? Ist er (2/0), weil der abgeleitete "/0 ist? Und ich verstehe immer noch nicht genau, was du mit kombinieren meinst und, was ich im Endeffekt für ein Wert raus habe und wozu diese Werte gut sein sollen? :D Sry aber ich bin echt schlecht in Mathe

Kommentar von Aleksakisu ,

Kein Problem. Wenn jeder in allem gut wäre, wäre die Welt doch langweilig ^^

Auf (2I0) kommt ich, weil in der Aufgabe steht "hat in PH(2/0) einen Hochpunkt". Also muss die Funktion auch durch diesen Punkt gehen.

Das mit dem Kombinieren kann man auf verschiedenen Wegen machen. Es könnte zum Beispiel so aussehen (mit Gleichungen I, II, III und IV von oben der Reihe nach durchnumeriert):

Wert für d aus IV in I einsetzen: 8a+4b+2c-2/3=0

I nach c umstellen: c=1/3-4a-2b

Ergebnis aus I in II einsetzen: 12a+4b+1/3-4a-2b=0, also 8a+2b+1/3=0

II nach b umstellen: b=-1/6-4a

Ergebnis aus II in III einsetzen: 6a+2*(-1/6-4a)=0, also -2a-1/3=0

III nach a umstellen: a=-1/6

Ergebnis für a in II einsetzen: b=-1/6-4*(-1/6)=1/2

Ergebnis für a und b in I einsetzen: c=1/3-4*(-1/6)-2*(1/2)=0

Damit erhalten wir a=-1/6, b=1/2, c=0 und d=-2/3.

Jetzt kann man diese Werte in die Funktion von oben, also f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, einsetzen, und erhält f(x)=-1/6x^3+1/2x^2+0x-2/3, also f(x)=-1/6x^3+1/2x^2-2/3 - genau die Funktionsgleichung, die du haben wolltest.

Falls ihr schon mit Matrizen arbeitet, könntest du dir alternativ auch aus den Gleichungen I, II, III und IV das System

8 4 2 1 0

12 4 1 0 0

6 2 0 0 0

0 0 0 1 -2/3

aufstellen und vom Taschenrechner lösen lassen (der tut damit ziemlich genau das, was ich hier von Hand vorgerechnet habe).

Hilft dir das weiter? :)

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 1

Für jede Unbekannte braucht man 1 Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar !!

1. y=f(x)= a3 *x^3 +a2 *x^2 + a1 *x +ao hier ist ao=- 2/3

2. f´(x)=3 *a3 *x^2+2 *a2 *x + a1

3. f´´(x)=6 *a3 *x +2 *a2 + a1 *0

4. f´´´(x)=6 *a3

mit x1=2 und y1=0 in 1. eingesetzt

1. 0=a3 * 2^3 + a2 * 2^2 +a1 * 2 - 2/3

2. 0=a3 * 3 * 2^2 +a2 *2 *2 +a1 *1 hier x1=2 Hochpunkt an dieser Stelle

3. 0=a3 *6 *1 +a2 *2 +a1 *0 hier x3=1 Wendepunkt an dieser Stelle

ergibt das lineare Gleichungssystem

1.    8 * a3 +4 *a2 +2 *a1 =2/3

2.    12*a3 +4 *a2 +1 *a1=0

3.     6 *a3 +2 *a2 +0*a1= 0

die Unbekannten sind a3,a2 und a1 die im Mathe-Formelbuch mit x,y u. z bezeichnet werden.

Hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) gelöst.

a3=- 0,16666.....=-1/6  a2=0,5=1/2 und a1=0

Formel lautet somit y=f(x)=- 1/6 *x^3 + 1/2 *x^2 - 2/3

Nullstellen bei x1=x2=2 und x3=-1

Hinweis : Die Stelle x1=x2=2 ist ein Maximum .Der Graph berührt hier nur die x- Achse

Die Kurve kommt von links oben und geht nach rechts unten weg.

sieht ähnlich aus ,wie ein S und hat ein Minimum und Maximum

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

für die Nullstellen brauchst du keine Ableitung, sondern musst die Funktion nur gleich 0 setzen.

Und aus f(2)=0 ; f '(2)=0 ; f(0)= -2/3 ; f "(1)=0

machst du ein Gleichungssystem und löst es mit dem Additionsverfahren (google)

Kommentar von gamefreak96 ,

Stimmt, habe mich verschrieben mit dem ableiten. Aber verstehe nicht, wie ich das aufstellen muss. Hat man beim Additionsverfahren nicht zwei Gleichung? :D und wozu es im Endeffekt dann gut sein soll, also was man raus bekommt. Sry aber ich bin echt unterirdisch in Mathe :D

Kommentar von Ellejolka ,

2 mal die gleiche Unbekannte rauswerfen, dann hast du nur noch 2 Gleichungen.

https://www.youtube.com/watch?v=_-w3K3FhMCQ

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