Lineares Gleichungssystem, wie löse ich meine Aufgabe in der es eine, keine & unendlich viele Lösungen gibt?

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2 Antworten

  Es ist hier genau wie in der Geometrie - du musst etwas " sehen "  ( Es heißt ja auch " AGULA A " nalytische Geometrie ( Warum icha nalytisch so komisch schreibe? Der Editor erlaubt es nicht; wie ich vom Support erfuhr, sollen wir an der Benutzung des WortesA nalysis gehindert werden, weil dieses den Tatbestand des Landesverrats erfülle. ) Mit drei Unbekannten kommst du noch ganz gut hin; um zu entscheiden, welche Dimension die Lösungsmannigfaltigkeit hat, geh am Besten erst mal von dem adjungierten ===> homogenen LGS aus. Warum? Aus zwei Gründen; sei A die Koeffizientenmatrix ( KM ) des LGS.

   Erstens ergibt sich ja

  " allgemeine Lösung "  =  " Sonderlösung "  +  Kern  (  A  )     (  1  )

   und Grund 2 siehst du gleich unten.

       x  -  2  y  +  a  z  =  0     |    :  z         (  2a  )

       x  +     y  +      z  =  0     |    :  z         (  2b  )

   2  x  +  3  y  +     z  =  0     |    :  z         (  2c  )

    X  :=  x  /  z  ;  Y  :=  y  /  z        (  2d  )

   Der Trick Sonderpatent Gilgamesch. Immer dann, wenn der Parameter a nur in einer Spalte ( hier der 3. ) von A vorkommt, kannst du die entsprechende Unbekannte ( hier z ) weg dividieren; es verbleiben die beiden Unbekannten X und Y .  Die rechte Seite stört uns ja nicht; da steht eh nur Null.

          X  -  2  Y  =  -  a              (  3a  )

          X  +     Y  =  (  -  1  )        (  3b  )

      2  X  +  3  Y  ==  (  -  1  )      (  3c  )

   ( 3bc ) bilden ein konventionelles LGS ; wofür entscheide ich mich? Einsetz-oder Additionsverfahren?

   Es geht noch kürzer. Immer wenn das Absolutglied auf der rechten Seite überein stimmt so wie hier in ( 3bc ) tust du DIREKT subtrahieren " ( 3c ) - ( 3b ) " , weil du dann nämlich eine homogene Beziehung kriegst:

       X  =  -  2  Y        (  4a  )

    Y  =  1  ;  X  =  (  -  2  )        (  4b  )

    v  :=  Kern  (  A  )  =  (  -  2  |  1  |  1  )     (  4c  )

   Hast du das so weit verstanden? Jetzt muss aber noch ( 3a ) befriedigt werden  ; Einsetzen führt auf a = 4 . Mooment; was haben wir eigentlich GENAU bewiesen?

   Hier kennst du den Witz

   " Adam und Eva hörten die Stimme Gottes, der im Garten ging.

   ' Adam; hast du etwa durch Null dividiert? Im Schweiße deines Angesichts sollst du beweisen deine Teoreme, Lemmata und Sätze dein Leben lang. "

   Weil unser still schweigender Ausgangspunkt in ( 2a-c ) war ja, dass es einen Kernvektor gibt mit z-Komponente z  =  1  ; weil sonst dürfen wir nicht durch z  dividieren ( z ungleich Null heißt oBdA schon z = 1 ; warum? )

   Unter dieser Annahme, getroffen eigentlich nur, um uns die ganzen Rechnungen zu erleichtern, fanden wir Parameter a = 4 und den zugehörigen Kernvektor ( 4c )

  Hier kommt immer wieder die Frage: Welche beruflichen Aussichten eröffnet dir das Mathestudium? Bärenstark, sagt das ZDF . Weil die ganzen Personalabteilungen wissen: Wer das Mathediplom hat, ist gut in - FALLUNTERSCHEIDUNG .

   Machen wir in ( 2a-c ) gleich mal eine. Wir müssen also noch testen: Was passiert im Fall z = 0 ?

       x  -  2  y  =  0        (  5a  )

       x  +     y  =  0        (  5b  )

   2  x  +  3  y  =  0       (  5c  )

   Die triviale Lösung x = y = 0 besitzt ( 5a-c ) von Vorn herein; nicht triviale Lösungen sind bereits dann ausgeschlossen, wenn eine ===> Unterdeterminante ungleich Null heraus kommt. Die Determinante von ( 5ab ) beträgt 3 ; alles im grünen Bereich.

   Und jetzt wende ich mich dem ursprünglichen inhomogenen LGS zu.

       x  -  2  y  +  a  z  =  2        (  6a  )

       x  +     y  +      z  =  2        (  6b  )

   2  x  +  3  y  +     z  =  -  ß     (  6c  )

   So lange a ungleich 4 ist, ist A , die KM unseres LGS , invertierbar ===> Für alle Paare der Parameter ( a ; ß ) ist ( 6a-c ) eindeutig lösbar. Aber wie beschaffen wir uns im Falle a = 4 die in ( 1 ) geforderte Sonderlösung?

   Bisher haben wir uns doch recht Erfolg reich aus der Affäre gezogen, indem wir sagten: 2 X 2 LGS beherrschen wir; eliminieren wir doch einfach dieses lästige z . Und abermals kommt uns ein Schink des Wicksals zu Hilfe

   Lemma 1

  " Wenn ( für a = 4 ) das LGS ( 6a-c ) ÜBERHAUPT lösbar ist, so besitzt es auch eine Sonderlösung mit z = 0. "

   Es gibt wohl kaum etwas, was die Rolle der linearen Abhängigkeit so sehr veranschaulichen kann wie Lemma 1 .

   Beweis. Sei ( 7a ) ein Lösungsvektor

      (  x0  |  y0  |  z0  )     (  7a  )

   Dann definieren wir im Hinblick auf ( 1;4c )

   (  x1  |  y1  |  z1  )  :=  (  x0  |  y0  |  z0  )  -  z0  v  ===>  z1  =  0   (  7b  )   ;  wzbw

  Setzen wir sang-und klanglos z = 0 in ( 6a-c )

           x  -  2  y  =  2           (  8a  )

           x  +     y  =  2          (  8b  )

       2  x  +  3  y  =  -  ß     (  8c  )

  Bereits eine elementare Betrachtung lehrt, dass y = 0 heraus kommen muss in ( 8ab ) ===> x = rechte Seite = 2 . Dann ist aber ß = ( - 4 ) Bedingungen an a ergeben sich freilich nicht; a ist frei wählbar.

  Die Behauptung von Loki übrigens, Teil b) der Aufgabe habe " mit a) nicht das Geringste zu tun " , erweist sich spätestens hier als nerd. die Utopie von ===> Mr. Spock -längst ist sie widerlegt. Seit Antonio und Margarete ===> Damasio wissen wir um die überragende Rolle, welche die ===> Amygdala und mit ihr die Psychologie in der Mathematik spielt.

  Freilich; dieser Aufgabenzettel liest sich sachlich-positivistisch wie ein Roboter. Dein Prof hätte jedoch ganz gerne, dass du dir bei den ganzen Ergebnissen auch was denkst; und sowas wie Sinn kommt eben in den Textbüchern nur ganz am Rande vor ( Ich will es nicht gänzlich ausschließen. )

   Der Vorteil, dessen ich mich hier erfreue, leitet sich allerdings her aus " Jah-ren-den " währender Mitarbeit ( 20 Silvester Mensa ) bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos ; dort habe ich diesen z-Trick ursprünglich entwickelt.

   Fassen wir ruhig noch einmal zusammen.

         z  =  0  ===>  x  =  2  ;  y  =  0  ;  ß = ( - 4 )          (  9a  )

   Wegen der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung im Falle linearer Unabhängigkeit gilt auch die Umkehrung von ( 9a ) - SO LANGE a NICHT gleich 4 ist:

        ß = ( - 4 )  ===>  x  =  2  ;  y  =  0  ;  z  =  0             (  9b  )

   Und wenn nun ß ungleich Minus 4 ? Dann verschwindet eben die z-Komponente des Lösungsvektors nicht mehr - who cares?

    a = 4 bedeutet, dass die Umkehrung ( 9b ) nicht länger erfüllt ist. wir haben nur noch die weit schwächere Aussage, es handelt sich um eine Sonderlösung. Und wenn jetzt ß <  >  ( - 4 ) ? Dann wird die Bedingung in Lemma 1 nicht mehr erreicht - das LGS HAT KEINE LÖSUNG .

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Kommentar von ProphetenHaxe
06.12.2015, 22:07

Ich verstehe nicht einen einzigen Satz von dem was du da fabrizierst

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Die b) hat mit der a) nichts zu tun. Bei der a) musst du das Gleichungssystem lösen, und vermutlich siehst du da auch schon, wie alpha und beta sein müssen.

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