Frage von GerhardKapper, 46

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen?

Hey!
Vor mir hatte ich soeben eine lineare Gleichung mit zwei Variablen.
Ich soll eine zweite angeben, und zwar so, dass die Gleichung entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.
Stimmt das was ich gemacht habe?
Habe ein Foto hinzugefügt, hoffe man kann alles lesen!
Lg!

Expertenantwort
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 2

Also so ganz leuchtet mir deine Lösung nicht ein. Du hast ja keine zweite Gleichung gefunden sondern nur die 1. Umgeformt.

Mein Ansatz:
G1: y = x/2 +2
G2: y = ax + b

Für den Schnittpunkt 1 gilt:
G1: y1 = x1/2 +2
G2: y1 = ax1 + b

Mit y1 = y1 folgt:
x1 / 2 +2 = a * x1 + b
x1 / 2 - a * x1 = b - 2
x1 * (1/2 - a) = b - 2
x1 = (b - 2) / (1/2 - a)

1) 1 Lösung:
Es darf nur ein x1 geben, das die Gleichung erfüllt:
x1 = (b - 2) / (1/2 - a)
Für jedes beliebige a und b wäre das erfüllt mit 1 Ausnahme für a = 1/2:
1/2 - a = 0
Das würde dann Division durch 0 bedeuten und dann kommt für x1 = ∞ raus, was bedeutet, es gibt keine Lösung im endlichen Bereich.

Erklärung: 2 Geraden, die nicht parallel sind (unterschiedliche Steigungen) schneiden sich immer irgendwo, egal wie groß der y-Versatz = b ist.

1 Beispiel aus unendlich vielen Lösungen (betreffs a und b)
y = x (a = 1, b = 0)

2. keine Lösung erhält man, wenn es kein x1 im endlichen Bereich gibt.
Das heißt, wir haben oben schon die Lösung gefunden:
für a = 1/2 gibt es keine Lösung, sofern b nicht gleich 2 ist. Das würde auf 0/0 hinauslaufen und da siehts dann nochmal anders aus.

Erklärung: 2 Parallelen, die einen unterschiedlichen y-Versatz = b haben, schneiden sich nie.

1 Beispiel aus unendlich vielen Lösungen (betreffs b)
y = x/2 (a = 1/2, b = 0)

3. Unendlich viele Lösungen:
x1 = (b - 2) / (1/2 - a) ist dann unbestimmt, wenn es auf 0/0 hinausläuft.
Das würde bedeuten, a wird zu 1/2 und b wird zu 2

Dafür gibt es nur eine Lösung:
y = x/2 + 2

Erklärung: 2 Parallelen, die den selben y-Versatz haben, sind identisch und haben daher unendlich viele Schnittpunkte.

Einzige Lösungen:
y = x/2 + 2 (a = 1/2, b = 2)

Antwort
von ELLo1997, 14

Sieht im großen und ganzen ganz gut aus. Ein paar Bemerkungen noch: Die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit 2 Unbekannten ist ein Zahlenpaar (!) (x, y), geometrisch zum Beispiel als (Schnitt-)Punkt interpretierbar.

Unendlich viele Lösungen erhältst du, wenn die beiden Geradengleichungen eigentlich identisch sind. Das heißt, man kann nur durch "umformen" von der einen auf die andere kommen.

Lg

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 3

y=mx+b

1 Lösung (m verändern und b lassen);

also y=3x+2

---------------------------------

keine Lösung (m lassen und b egal) ;

also y=1/2 x + 13

------------------------------------------------

unendl. viele Lösungen (m  und b lassen )

also y = 1/2 x + 2

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