Frage von Elena900, 27

Linearen Funktion am Paralleolgramm?

Hallo :) Unzwar blick ich in der folgenden Aufgabe nicht ganz durch. bitte helft mir! Die Punkte A(8/-4), B(18/-4, C(16/4) und D(6/4) bestimmen das Parallelogramm ABCD. a) Stelle die Funktionsgleichung der vierten Geraden auf, die das Parallelogramm bestimmen

b) Bestimme rechenrisch den Schnittpunkt S der Diagonalen.

Es handelt sich hier nicht um Hausaufgabe sonder um Üben und ich komm einfach nich bei dieser Aufgabe weiter!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 13

Hallo,

die Gerade, die durch die Punkte A und B geht, bestimmst Du, indem Du einen Punkt als Stützpunkt nimmst und die Differenz der beiden Punkte, multipliziert mit einem Streckfaktor als Richtungsvektor:

A+r*(B-A)=(8/-4)+r*(10/0)

So kannst Du auch die Geraden durch die anderen Punkte und die Diagonalen AC und BD bestimmen.

Den Schnittpunkt der Diagonalen bekommst Du heraus, wenn Du die beiden Geradengleichungen gleichsetzt, so die Streckfaktoren der Richtungsvektoren ermittelst und sie in die Geradengleichungen einsetzt. Hast Du richtig gerechnet, ergeben beide den gleichen Punkt als Lösung.

Diagonale durch A und C: (8/-4)+r*(8/8) Den Richtungsvektor (8/8) kannst Du durch 8 kürzen und als (1/1) schreiben (beim Stützpunkt darfst Du das aber nicht machen)

Diagonale durch B und D: (18/-4)+s*(-12/8) (Auch hier kannst Du beim Richtungsvektor kürzen): (18/-4)+s*(-3/2)

Nun stellst Du die Gleichung (8/-4)+r*(1/1)=(18/-4)+s*(-3/2) auf, das Dich zu den beiden Gleichungen 8+r=18-3s und -4+r=-4+2s führt, sortiert:

r+3s=10
r-2s=0

r=2s

In die obere Gleichung anstatt r also 2s einsetzen:

2s+3s=10

5s=10

s=2

Und da r=2s, gilt:

r=4

Nun kannst Du entweder 4 für r in die Gleichung der Geraden durch A und C einsetzen: (8/-4)+4*(1/1)=(12/0)

Oder 2 für s in die andere Geradengleichung:

(18/-4)+2*(-3/2)=(12/0) und bekommst den gemeinsamen Punkt beider Geraden, mithin den Schnittpunkt heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von gilgamesch4711 ,

  Was DIR fehlt, ist jede Einsicht, dass sich die Diagonalen halbieren. Andernfalls wäre ich schneller mit meinem " komplexen Sinussatz " zu Rande gekommen.

Kommentar von Willy1729 ,

Dafür sind meine Antworten nicht so selbstverliebt und auch für Schüler nachvollziehbar.

Kommentar von EstherNele ,

Hallo Willy 1729 ...

Elegante Variante - aber die Fragestellerin ist 15 und ihren Mathefragen nach vermutlich in der 9.Klasse. Ich fürchte, die überforderst du mit Richtungsvektoren noch etwas ...

Antwort
von EstherNele, 12

Zeichne dir erst mal das Parallelogramm.

Zeichne dir ein Koordinatensystem , die x-Achse muss von 0 - 18 gehen, für die y-Koordinate brauchst du den Bereich  -4 bis +4 und dann zeichnest du die gegebenen Punkte ein und bezeichnest diese Ecken deines Parallelogramms.

Schau dir mal die Strecke DC an. Egal, wie groß x wird, y behält seinen Wert. Diese Funktion wäre y = 4 und ist keine Funktion von x, weil sich y nicht in Abhängigkeit von x ändert.

Das gleiche gilt für die Strecke AB - die dazugehörige Funktion heißt y = -4.

Nun zu den anderen Seiten: nehmen wir die Seite DA

Erinnere dich mal an die Definition der linearen Gleichung y = mx +n.

n ist ein Zahlenwert, der keinen Einfluß auf den Anstieg m hat. 

Aus y = m *x bekommst du m = y/x bzw. m = (y2-y1) / (x2-x2) , wenn du zwei Punkte mit ihren x-und y-Werten hast.

Dabei ist der Y2- bzw x2- Wert immer der weiter rechts liegende.

Wenn du die x- und y- Werte der Punkte D und A in die Formel einsetzt, dann bekommst du m heraus.

m = (yA - yD) / (xA - xD) = (-4 - 4) / (8 - 6) = -4

Die Gerade hat also die Form y = -4*x + n. 

Jetzt willst du n ausrechnen, dafür setzt du den x- und den y- Wert von D oder A  in die Gleichung ein. (Ich habe D genommen)

y = -4*x + n   =====>   4 = (-4) * 6 + n   ====> n = 4 - ((-4)*6) = 4 + 24

n = 28

Deine erste lineare Gleichung heißt y = - 4x + 28.

Die zweite Gerade CB kannst du nach der Beschreibung sicher selbst berechnen (Kleiner Tipp: der Anstieg m muss genauso groß sein wie bei DA, sonst wären die beiden nicht parallel.)

 

Kommentar von EstherNele ,

Hab den Schnittpunkt vergessen, zweite Antwort.

Antwort
von EstherNele, 11

Berechnung des Schnittpunktes der Diagonalen:

Du berechnest dir für die Diagonalen AC und DB jeweils die lineare Funktionsgleichung. Wie das geht, habe ich dir in meiner ersten Antwort detailliert beschrieben.

(Wenn du richtig rechnest, bekommst du y= x -1 und y= (-2/3)*x + 8. )

Du hast jetzt ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen, welches du jetzt lösen kannst, dann bekommst du einen Wert für x und einen für y - die Koordinaten des Schnittpunktes.

Am besten nimmst du das Gleichsetzungsverfahren - es bietet sich ja schon an, da du beide Gleichungen in der Form y = ... vorliegen hast.

Viel Erfolg beim Lernen.

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