Lineare Unabhängigkeit von Mengen zeigen?

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2 Antworten

Schau dir die möglichen Linearkombinationen dieser 3 Elemente an:

f_L(x) = a_1 * (1) + a_2 * (x^2) + a_3 * ((x+1)(x-1))

wobei a_1, a_2, a_3 unabhängig voneinander alle reellen Zahlen durchlaufen.

Gesucht sind alle Tripel (a_1, a_2, a_3) aus |R^3, für die f_L(x) = 0 für alle x ist.

Eine Lösung ist natürlich (a_1, a_2, a_3) = (0, 0, 0).

Wenn dies die einzige Lösung ist, sind die 3 Funktionen (als Vektoren aufgefasst) linear unabhängig, wenn es weitere Lösungen gibt, sind sie nicht linear unabhängig.

(Entsprechendes gilt ja in allen Vektorräumen.)

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Bei Polynomräumen ist es immer hilfreich, wenn man den maximalen Grad der Polynome kennt. Dazu multiplizieren wir hier die Polynome aus.

Das 1. und 2. sind schon ausmultipliziert, beim 3. können wir die 3. Binomische Formel verwenden (Ausmultiplizieren geht auch, dauert aber länger):

(x+1)(x-1) = x^2 - 1

Wir haben also Polynome der Grade 1, 2 und 2 in der zu untersuchenden Menge. Der maximale Grad ist also 2.

Weil ein Polynom maximal 2. Grades durch 3 Zahlen eindeutig bestimmt wird (z. B. a, b, c in a x^2 + b x + c), ist ein Vektorraum von Polynomen max. 2. Grades (maximal) 3-dimensional.

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Für den Nachweis der linearen Unabhängigkeit kann man z. B. ausnutzen, dass ein Polynom maximal n-ten Grades durch die Funktionswerte an (n+1) Stellen eindeutig bestimmt ist.

Hier also 3 Stellen für x. Man kann die 3 Stellen beliebig raussuchen. (-1, 0, 1) sind besonders einfach, aber auch (0, 1, 2) würde gehen.

Man stellt fest, dass das Gleichungssystem sich nicht eindeutig lösen lässt - also sind die 3 Funktionen (als Vektoren) linear abhängig.

Es geht aber noch einfacher:

Die 3. Funktion ist ja auch darstellbar als

f_3(x) = (x+1)(x-1) = x^2 - 1

was offensichtlich gleich f_2(x) - f_1(x) ist. Das ist eine Linearkombination von f_1 und f_2, mit den Vorfaktoren (Koeffizienten) -1 und 1.

Wenn sich ein Element einer Menge als Linearkombination der übrigen darstellen lässt, ist die Menge natürlich linear abhängig: die Linearkombination der übrigen Elemente minus das eine Element ist dann ja genau der Nullvektor.

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Kommentar von MarshallMath123
18.11.2016, 19:57

Danke jetzt versteh ich es zum Glück :D

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Hallo,

Nehmen wir an, X,Y und Z seien Vektoren eines reellen Vektorraums.

X, Y, Z sind linear unabhängig, wenn aus aX +bY + cZ = 0
folgt : a = b = c = 0.

(Achtung: Die Null in der Gleichung aX + bY + cZ = 0 ist der Nullvektor,
 die Null in der Zeile darunter ist die reelle Zahl Null.)

Behauptung: die Polynome 1, x², (x+1)(x-1) sind linear abhängig:

Beweis: 

(*)   Sei a ·1 + b·x² + c·(x+1)(x-1) = 0 .  

Wähle   a = 1, b = -1, c = 1; dann gilt

a ·1 + b·x² + c·(x+1)(x-1)  = 1·1 + (-1) x² + 1·(x+1)(x-1) = 1 - x² + x² - 1 = 0.

Aus Gleichung (*) folgt nicht a = b = c = 0, also sind die Polynome
1, x², (x+1)(x-1) nicht linear unabhängig.

Das Polynom (x+1)(x-1) ist eine Linearkombination der Polynome
1 und x².

Gruss

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Kommentar von MarshallMath123
18.11.2016, 19:56

Ah danke jetzt versteh ichs. Muss man also ausprobieren wann 0 raus kommt oder gibt es eine elegantere methode?

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