Frage von theBlackSunset, 19

Lineare Funktionen? Hilfe? 😭😭😭Probe (!)?

Wir schreiben eine Probe morgen und ich verstehe das alles einfach nicht 😭 ich hab es versucht aber es geht nicht

Kann mir jemand vielleicht gute YouTube Links schicken oder es ganz einfach erklären? 😁

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 8

Hallo,

die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet y=mx+b, wobei m die Steigung der Geraden ist. m entspricht dabei dem Tangens des Winkels, den die Gerade mit der x-Achse bildet.

Dieses m kannst Du, wenn Du zwei Punkte der Geraden gegeben hast, leicht berechnen. 

In Deinem Fall sind die Punkte P (-3|6) und Q (3|-1,5) gegeben.

Die erste Zahl gibt immer den x-Wert an, also wie weit sich der Punkt rechts (positiv) oder links (negativ) von der y-Achse befindet; die zweite den y-Wert, also wie weit sich der Punkt oberhalb (positiv) oder unterhalb (negativ) der x-Achse befindet. Punkt P findest Du also, wenn Du auf der x-Achse vom Nullpunkt aus drei Einheiten nach links gehst und von da aus 6 Einheiten nach oben; Punkt Q liegt 3 Einheiten rechts vom Nullpunkt und von da aus 1,5 Einheiten abwärts. Nun betrachte einmal die Abstände zwischen den beiden Punkten. Wenn Du von Punkt P aus zu Punkt Q gelangen möchtest, wobei Du aber nicht den direkten Weg nehmen kannst, sondern Dich nur parallel zur x-Achse oder zur y-Achse bewegen darfst, müßtest Du Dich zunächst 6 Einheiten parallel zur x-Achse nach rechts bewegen, denn -3+6=3, danach 7,5 Einheiten parallel zur y-Achse nach unten, denn 6-7,5=-1,5. Wenn Du diese -7,5 nun durch die 6 teilst, also den Abstand der y-Koordinaten beider Punkte durch den Abstand der x-Koordinaten beider Punkte, dann ist das so, als würdest Du bei einem rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete durch die Ankathete teilen. Als Ergebnis bekommst Du dann den Tangens des Winkels, der an der Ankathete anliegt. Hier bekommst Du den Tangens des Winkels zwischen der Verbindungslinie beider Punkte, der gesuchten Geraden, und der x-Achse - und dieser Tangens ist nichts anderes als m, die Steigung.

Wir wissen also, daß die gesuchte Gerade die Steigung m=-7,5/6=-1,25 besitzen muß. So berechnest Du immer die Steigung einer Geraden, die zwei Punkte miteinander verbindet. Du teilst die Zahl der Einheiten, die Du von einem zum anderen Punkt in y-Richtung gehen mußt, durch die Zahl der Einheiten, die Du von diesem Punkt aus zum anderen in x-Richtung gehen mußt. Mußt Du im ersteren Fall nach oben, ist die Zahl positiv, sonst negativ, gehst Du im zweiten Fall nach rechts, ist die Zahl der Einheiten positiv, sonst negativ. Da wir von Punkt P nach Q abwärts gehen mußten, steht vor der 7,5 ein Minuszeichen.

Eine negative Steigung bedeutet, daß die Gerade links höher ist als rechts, sie fällt also nach rechts ab; bei einer positiven Steigung ist es umgekehrt: die Gerade steigt nach rechts an.

Je kleiner m, die Steigung, desto flacher verläuft die Gerade in bezug auf die x-Achse.

m=-1,25 bedeutet, daß unsere Geradengleichung nun so aussieht:

y=-1,25x+b.

Jetzt muß nur noch b ausgerechnet werden. Hierzu bedienst Du Dich der Koordinaten von einem der beiden Punkte, von welchem, ist Dir überlassen. Ich nehme mal P (-3|6). -3 ist der Wert für x, 6 der für y. Das setzt Du nun in die Gleichung ein:

6=-1,25*(-3)+b

6=3,75+b

2,25=b

Also lautet die Geradengleichung y=-1,25x+2,25.

Jetzt müssen wir natürlich wieder x und y hinschreiben, schließlich brauchen wir die Gleichung für alle Punkte auf der Geraden, nicht nur die für Punkt P.

Wir können aber mal spaßeshalber die Koordinaten von Q (3|-1,5) einsetzen, um zu prüfen, ob die Gleichung wirklich stimmt:

-1,5=-1,25*3+2,25

Das stimmt auffallend.

Da b gleichzeitig der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ist, muß hier schon mal nichts weiter gerechnet werden.

Suchst Du den Schnittpunkt mit der x-Achse, dann liegt der da, wo y=0 ist.

Du rechnest also aus 0=-1,25x+2,25

1,25x=2,25

x=2,25/1,25=1,8 - der gesuchte Schnittpunkt.

Dann brauchst Du noch eine Gerade mit der Steigung 3, also y=3x+b, auf der der Punkt A (-2,5|0) liegt. Auch hier setzt Du wieder die beiden Koordinaten für x und y ein, um b zu bestimmen:

0=3*(-2,5)+b

b=7,5

g₂ lautet also y=3x+7,5

Einen Schnittpunkt zu bestimmen heißt gleichsetzen: g₁=g₂,

also -1,25x+2,25=3x+7,5, was uns zu 1,75x=-5,25 führt, also
x=-5,25/1,75=-3

Der gesuchte Schnittpunkt C hat also als x-Koordinate die -3.

Den dazugehörigen y-Wert findest Du, wenn Du x=-3 in eine der beiden Geradengleichungen einsetzt, bei beiden muß der gleiche Wert herauskommen, sonst wäre es ja kein Schnittpunkt:

-1,25*(-3)+2,25=-3,75+2,25=-1,5

oder 3*(-3)+7,5=-1,5

So haben wir den Schnittpunkt C (-3|-1,5) gefunden und sind fertig.

Beim Gleichsetzen hast Du vielleicht das y vermißt. Das brauchst Du nicht. 

Beide Geradengleichungen beginnen mit y=. Und wenn y sowohl -1,25x+2,25 als auch 3x+7,5 sein soll, müssen -1,25x+2,25 und 3x+7,5 genau dasselbe sein. Wenn Erna doppelt so alt ist wie Fritz und Klara doppelt so alt wie Fritz, dann sind Erna und Klara gleich alt und Fritz kann sich trollen.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 10

http://www.schulminator.com/mathematik/lineare-funktion

hier mal gucken.

Antwort
von Satanas666, 19

Such mal auf YT nach "Thesimplemaths".

Kommentar von theBlackSunset ,

Danke 😊
Aber wüsstest du vielleicht auch wie ich einen unbestimmten Punkt berechne? Ich weiß das man 0 einsetzen muss aber mehr nicht. Welches Video passt dazu? 😁

Kommentar von Satanas666 ,

Leider bin ich in Mathe selbst eine Niete. 

Allerdings finde ich, dass vieles hier sehr gut erklärt ist http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/lineare-funktion-funktionen-zeichnen-m... vielleicht hilft dir das weiter.

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